Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Обозначим через х угол ВАМ. Вычислить в функции R и х расстояние у от точки H до плоскости (P). Определить X так, чтобы у имел данную величину d. Исследовать. Дать геометрическое решение.
3°. Выразить у в функции R и X= cos 2х. Изучить полученную функцию при условии, что точка M описывает полуокружность (С) диаметра AB и построить график этой функции.
43. Дан тетраэдр ABCD с основанием BDC9 причем ребро AD перпендикулярно плоскости BDC Пусть DE — высота треугольника DBC9 опущенная на сторону ВС.
1°. Доказать, что плоскость ADE перпендикулярна плоскости ABC 2°. П)хть BF — высота треугольника ABC9 опущенная на сторону AC9 a BK — высота треугольника DBC9 опущенная на сторону DC
а) Доказать, что плоскость BFK перпендикулярна плоскости ABC
б) Доказать, что ортоцентр H треугольника ABC есть ортогональная проекция на плоскость ABC ортоцентра N треугольника BCD.
3°. Предположим, что грань BCD фиксирована, а вершина А тетраэдра описывает полупрямую Dx9 перпендикулярную основанию DBC Найти геометрическое место точек H и F.
4°. Доказать, что шесть точек: С, E9 H9 F9 K9 N лежат на одной и той же сфере. Налти положение ее центра и радиус.
Глава XXV
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Можно ли треугольную пирамиду пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился ромб?
2. Можно ли пересечь треугольную пирамиду плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм?
3. Куб опирается вершиной о плоскость так, что его диагональ, выходящая из этой вершины, перпендикулярна плоскости. Он освещен пучком лучей, параллельных указанной диагонали. Найти тень, отбрасываемую кубом на плоскость.
4. На поверхности куба найти все точки, равноудаленные от концов одной из его диагоналей.
5. В пространстве даны четыре точки: А, В, С, D; EF—-общий перпендикуляр к отрезкам AB и CD и AB JL CD. Зная, что AE = ЕВ = т, CF = FD=H, EF = k, найти в пространстве точку О такую, чтобы сумма расстояний от нее до точгк А, В, С и D достигала минимума.
6. Из двух треугольных пирамид с общим основанием одна лежит внутри другой. Может ли быть сумма ребер внутренней пирамиды больше суммы ребер внешней?
7. Определить радиус биллиардного шара, производя построение циркулем и линейкой на самом шаре и на листе бумаги.
8. Через некоторую точку пространства проведены 4 плоскости; никакие 3 из них не пересекаются по одной прямой. На сколько частей разбивается пространство?
9. На поверхности твердого шара дан полюс N. Построить при помощи одного циркуля другой его полюс S.
10. На поверхности твердого шара дана дуга, являющаяся частью параллели. Построить полюс, пользуясь одним циркулем.
11. На сколько частей могут разделить пространство п плоскостей?
12. Прямая / пересекает две произвольные непараллельные плоскости: аир. Исследовать, сколько плоскостей можно провести через прямую / так, чтобы они пересекали данные плоскости по двум взаимно-перпендикулярным прямым.
13. На поверхности куба найти 3 точки, из которых его диагональ видна под наименьшим углом.
14. Сколько существует плоскостей, равноудаленных от четырех данных точек?
15. Четыре плоскости, пересекаясь между собой, образуют произвольный тетраэдр. Сколько существует сфер, каждая из которых касается всех четырех плоскостей?
16. Требуется изготовить тетраэдр из треугольного листа жести, не разрезая его на части. При каких условиях это можно сделать? Вычислить сумму косинусов линейных углов всех двугранных углов тетраэдра.
17. Как расположены плоскости симметрии ограниченного тела, если оно имеет две оси вращения (осью вращения называется прямая, после поворота вокруг которой на любой угол, не равный 2іг, тело совмещается само с собой).
18. Дана часть шаровой поверхности; при помощи одного только циркуля определить диаметр шара.
"Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
303
19. Прямоугольный параллелепипед с ребрами 8 см, 8 см, 27 см разрезать на 4 части, из которых можно было бы сложить куб.
20. Из произвольной точки Р, лежащей внутри треугольника ABC, являющегося гранью тетраэдра ABCD, проводятся прямые, параллельные ребрам DA, DB и DC, которые пересекают грани BCD, CDA и DAB соответственно в точках A1, B1, C1. При каком положении точки P объем тетраэдра PA1B1C1 будет наибольшим?
21. Даны две скрещивающиеся и взаимно-перпендикулярные прямые (D) и (А); AB — их общий перпендикуляр [точка А лежит на прямой (D), точка В—на прямой (А)].
1°. Доказать, что все грани тетраэдра ABMN — прямоугольные треугольники.
2°. Определить центр сферы, описанной вокруг А В MN. Найти геометрическое место середин отрезков MN, если M и N описывают соответственно прямые (D) и (А).
3°. Пусть длина отрезка MN — постоянная. Найти геометрическое место его середины.
4°. Дано AB = d, AM = BN= п. Найти объем тетраэдра ABMN.
22. Пирамида SABCD имеет основанием квадрат ABCD со стороной а. Длина ребра SA равна а\^3, и оно перпендикулярно плоскости ABCD. Плоскость, проходящая через AD, пересекает SB в точке Bf, a SC-в точке С'.
1°. Доказать, что четырехугольник AB'С1 D есть равнобочная трапеция. Найти геометрическое место точек M пересечения диагоналей DB' и AC' при условии, что В' описывает отрезок SB.
