Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
остатка числового ряда, т. е. Rn(х) <--—- = -— _1 < 0,01, как
X + п — 1
Поэтому ,Sn =---; S = Hm = — при любом i/O.
X + п X X + п n->oo X
Ответы
325
В частности, при ж > 0 -Rn (ж)
- < — <С 0, 1, как только п ^> 10.
X + п п
2469. При любом неотрицательном х члены данного ряда меньше (или
111
равны) членов числового сходящегося ряда ~'~2~'~4~'~8~'~' ' ' Поэтому ряд
(1/2)" 1
сходится равномерно для всех х J> 0, Rn(x) <--= 2"-1 ^
как только 2"-1 > 100, или п ^ 8. 2470. -3 ^ х < 3. 2471. -л/5 ^ л/3 л/3
<С ж <С л/5. 2472.--— 5? X <С -г--- 2473. Абсолютно сходится на всей
л/2 л/2
Д- < ж < . 2476. 1) Д = 0;
2) R= е. 2477. -5 < ж < 3. 2478. 1 < ж < 2. 2479.--— при |ж| < 1.
(1 — ху
2480. arctg ж при |ж| ^ 1. 2481. , 1 + при |ж| < 1. 2482. (1 + ж)т.
(1 — ж)2
л/5 л/5
2483. --^- < ж ^ -^-. 2484. -л/3 ^ ж ^ л/3. 2485. -0,1 ^ ж < 0,1.
1 - ж2
2486. -1 < ж < 1. 2487. -1 < ж < 3. 2488. -1 < ж < 0. 2489.
числовой оси. 2474. — 1 < ж < 1. 2475.
(1 + ж2)2
1 — 2ж
при |ж| < 1. 2490. - In (1 - ж) при -1 ^ ж < 1. 2491.--— при |ж| < 1.
(1 + ж)2
2492. 1) cos (ж - а)
1! 3! 5!
\Rn(x)\ 25 - ж6
X" ( TT
—- cos [Ох — а + п —
+ cos а 1
2) sin ж
2! 4!
2 • ж2 23 • ж4
2!
4!
3) ^ = ж+_ + _ + _
4) sin [mx + —^j
л/З
2!
4!
1 / mx m3x3 ~2 \ l ЗІ"
5!
2493. In(I + екх) =1п2
/V iL /V iL /V iL
2!22 4!23
2497. 1) In
1 + ж 1 — ж
326
Ответы
2) In (2 - Зх + х2) = In(I - ж)(2 - х) = In2 - ^(1 + 2"п
п = 1
1 + Ж3
X
п
3) In(I - X + X2) = ІП
2498. In Sx + Vl + ж2
1 + X
™2 о 3 „4 „5 об
1 з~ ~ T + ~5~ + ~6~ і • з •.
Е(-!)к
n = l
(2n - 1) ж2п+1
З n
2nn!
2n + 1
2499. e*/a
X — a (ж — a)2 (ж — a)3
Ua
2!a2
3!a3
R
Т)\ПП
2500. X3 — 3x = —2 + 3(ж - l)2 + (x - l)3.
2501. xA = 1 - 4(ж + 1) + 6(ж + I)2 - 4(ж + I)3 + (ж + І)4
2502.
1
1
X 2(1-(ж+ 2)/2)
1
ж +2 (ж+ 2)2 (ж + 2)а
при — 4 < X < 0.
2503. 1) cos
V2
(ж-тг/2) (ж-тг/2)5
1!2
2!22
OO
(Ж-7г/2)"-1 (2и — 1)тг --+—- COS--—
(п-1)!2"
принимая 0! условно равным 1 (см. сноску на с. 174 к задаче 1760); (Зж + тг)2""1
2) зіпЗж = ^(-1)г
(2n - 1)!
2504. Jx
x + l 2(ж + 1)5
'1-(ж+1) = -1 +
I 2-5(^+1)3 З3-З!
^2•5•8•...•(3Ti-I),
+ E-о^ХТТ^тЧ^-+ I)+ при - 2 < ж< 0.
3-1! З2-2! .. = -1 + І±1-
2505. 1) 2* = 1
п = 1
In 2 ж2 In2 2
3"+і(„ + 1)!
1!
2!
-2*;
Ответы
327
2) cos ( mx +
лД 2
1! 2!
Eymxy . .тт
—-— cos \2n — 1)— (полагая 0! = 1). (n - 1)! v ' A '
2506. xA - Ax2 = (x + 2)4 - 8{x + 2)3 + 20(x + 2)2 - Щх + 2).
"ж-тг/З 22(ж-тг/3)3 24(ж-тг/3)5
2507. COs^ X =
_ 1 _ лД ~ А ~ 3
1!
3!
5!
2(ж-тг/3)2 23(ж-тг/3)4 25(ж-тг/3)6
4!
2508. sin
2509. V« = 2
E
2!
тгп(ж - 1)г
3"7г! V3 ' "2
х-А (х-А)2 1-3(ж-4)3
6!
TT тт \
sin I — + п— I (полагая 0! = 1).
23-1! 26-2!
29 -3!
1 -3-5(ж-4)4
212 .4!
2511. arcsin ж = ж -
1-3 ж5 1-3-5 ж7
1 ж3
2 3 22 • 2! 5 23 • 3! 7
2512. УГІТШ
Vl - 0,008 Pd 1 - 0,004 = 0,996; V9O = V81 + 9 = 9^1+ ^
9 1 +
1
Ї8
V125 + 5
Y+ 5 ¦
5а 1
9
9,5. 2513. VO/Ж = Vl - 0,009 Pd 0,997; VM
76
1
25
5 1
1 75
. 2515. arctg ж = — 15 1
2517. тт = 2лД 1
3-3 5-З2 7-33 9-34
/Ч1П T 7' 7' -dx = C + x-— + — ж 3!3 5!5
2) / — dx = С + In ж......
'1X 1! 2!2 3!3
2520. Ф(ж)
~х dx
1!3 2!5 3!7
Ф
1 1
3 ~ З4
0,419 с погрешностью
328
Ответы
<
2430
2521. Ф(ж)
2-5 Xі
Ф
1
1 + X2 dx = X + 1
1 Xі
3 3 322! 5 0,2008 с погрешностью
33-3! 7 '"' ' \Ь) " 5 ' 3-3-53 < ——— < 0,0001. 2522. Продифференцировав уравнение п раз и под-
(п + 2)
п(п - 1)УоП 2>¦ Отсюда г/0' = г/0" = 0,
З2 -56
ставив X = 0, получим Jz0 jzjv = 2-1,2/^ = 3-2, JZ0^1 = 0 и т. д. Подставив эти значения в формулу
III 4
JZ0 JZ0 п Ж Ж
Маклорена jz = jzo + у-ж + -г-ж- + . . ., находим jz = 1 + - + +
X
X
4-5 3-4-7-8
2523. ?/=!¦
6
2524. Реше-
нием является «функция Бесселя нулевого порядка»: Iq(ж)
22 . 42 22 • 42 • б2
2525. vXOM Pd 1,0025; л/1,0012 Pd 1,0004;
1\
л/07993 Pd 0,9965; л/0~~997 Pd 0,999; л/Ш = л/Ю0 + 10 Pd 10 ( 1 + — J
10,5; л/70 Pd 4 ^l '1 1
2527. тг = 6
1
32 1
4,125; л/40 Pd 2 ( 1 1 • 3
1
20
2,1.
2 3-23 22-2!-5-25
3(1 + 0,0417+ 0,0047) Pd 3,14.
2528. тт
1
1
1
3 -22
4 + 3
1
5 •24 7 • 26 1 1
1
З-З2
5 •З4 7 • З6 _ 10
~ У
2Е
-1)
2п - 1 V 4
1
9" • 3
тг/2 тг/2
2532. s = A j л/а2 sin2 г1+ 62 cos2!1 dt = 4а У л/і - е2 cos2 z1 dt
27га
1
1 - 3\2 е4
1 • 3 - 5\2 е6
22 V 2 - 4 / З V2 -4-6/ 5
где е — эксцентриситет эллипса, а а — его большая полуось (см. № 1624
Ответы
329
и его ответ). 2533. / \/l + ж3 dx
о
65 Jj 128
___1 X9
~Х 2!42-5 + 4!44-9 1
с погрешностью <
1 1 1
2 'Ї ' ? ~
1 ж5
2-4 22-2!7 1
О, 508 с погрешностью <
7.2ю-
ф
2
2535. у
1
' 2
з
і
5 -210
2534. Ф(х) =
.. Pd 0,499805 2-х11
27-220' * 3 З2 -7 З2 - 7- 11
