Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
OO о
а5 7га5 , 7га3 , 7га3 7га3 , г-
2375. —. 2376. —=. 2377. 1 -: 2 -. 2378. - 8^2-7
4 хД 3 ' ; 60 6 1 ;
32 тга3 TTh4 а4 / За
2379. —тт. 2380. —. 2381. ——. 2382. —. 2383. 0; 0; —
3 6 4 12 у 8
32V^ а3 п1 „
2384. -. 2385. -. 2386. бктта , где к — коэффициент пропор-
135 360
циональности.
4 по прямой OA,
2387. / (х + у) dx
10
— по дуге OA,
2 по ломаной ОБА.
2388. 1) 8; 2) 4. 2389. J(х dy + у dx) = 8 в обоих случаях. Это потому,
80 дР
что здесь = —. 2390. 1) 1,5а2; 2) а2. 2391. 8а2. 2392. тга2.
ox Oy
тттаЬ . Ътт . 1 1 2а3
2393. ——. 2394. 0. 2396. 1) —; 2) --; 3) 2 ---=. 2397. —.
4 6 2 л/3 3
8 3 , 2ктМ 2398. тгаЬ. 2399.—. 2400. -а2. 2401. X = 0, Y = -—. 2402.Y =
15 2 ' тга2 kmM ктМ . . 52 . ,За2 = --. 2403. Y = -—. 2404. 1 -16; 2--; 3 -12. 2405. 1 -;
а2хД а2 ' ' 3 7 ' 2 '
а2 11а2 3 4 а3 7га4
2) —; 3) -. 2408. -тга2. 2409. -. 2410. —. 2411. -. 2412. Каж-
; 2 ' ; 6 8 3 2 48
дая из частей формулы равна 47га3. 2413. Каждая из частей формулы
а4 /4 тт \ 12 «.
равна — I — + — . 2419. Каждая из частей формулы равна —тга.
3 V5 16/ " ґ " ґ 5
2421. 0,15а5. 2422. Нет. 2423. Да. 2424. Да. 2425. Расходится.
OO
f X dx 3
2426. Расходится. 2427. Сходится, ибо /--— = —. 2428. Сходится,
J (ж+ I)3 8
і
Ответы
323
/dx тг f X -- = —. 2429. Расходится, ибо /-- dx = oo. 2430. Lj 1 + X2 4 J l + x2
і і
dx
дится, ибо
(2x + l)2
і
im-
4 ж
-In2. 2431. Сходится. 4
2432. Сходится. 2433. Сходится. 2434. Сходится, ибо Hm n+1 = — <
п—уса Un 2
< 1. 2435. Расходится. 2436. Расходится. 2437. Сходится. 2438. Расходится. 2439. Сходится. 2440. Расходится. 2442.1. 2443. -. 2444. Схо-
3
дится не абсолютно. 2445. Сходится абсолютно. 2446. Сходится не абсолютно. 2447. Сходится абсолютно. 2448. После первой переста-
1\ 1 (I 1\ 1
новки членов напишем ряд в виде 1
V V З/ 4 V3 б/ 8
1 1Л 1
- — — I — JT^ + - • • Выполнив действия в скобках, получим ряд, члены
которого вдвое меньше членов данного ряда. После второй переста-
1 1 1
новки членов преобразуем п-ю тройку членов:--1----=
4п — 3 4п — 1 2п
1 1 1 1 1 1
~ 47ГТз " An~^2 + 47ГГТ ~ 4n~ + 4п~^2 " 4п~' ПРИ " — 1,2,3,...
первые четыре члена образуют данный ряд с суммой S, а последние
два — ряд с суммой —. 2449. Сходится. 2450. Расходится, ибо
OO OO
dx f X dx тг
2451. Сходится, ибо /--- = —. 2452. Расхо-
ЮОж-99 7 1 + ж4 8
і і
OO
[ 2х — 1
дится, ибо /--— dx = 00. 2453. Сходится. 2454. Сходится, ибо
J X2
і
ип_|_і 1 ип_|_і 2On + 21 lim - = — < 1. 2455. Сходится, ибо hm - = hm -— =
n->oo Un 2 n->oo Un n->oo 3(2On + 1)
= — < 1. 2456. Сходится. 2457. Сходится не абсолютно. 2458. Сходится 3
абсолютно. 2459. При а > 1 сходится абсолютно, при а = 1 сходится не абсолютно, при а < 1 расходится. 2460. -. 2461. -. 2462. Сумма
1 хп ряда 5(?) = - при X < 1, остаток Дп = S — Sn = -. На оті—ж 1 — X
резке [0; 1/2] |ДП| < -ф—г < 0, 001, как только п - 1 > *ё^ ^ °; n ^ 11.
324
Ответы
2463. Ряд имеет
s
1 при О < ж <L 1,
сумму S = ----- = <
(J при X = (J
_ „, при О < X <J 1,
и остаток Дп = s
при X = 0.
При любом и остаток Дп будет больше, например, 0,9, как только х < 1 — — д/0,9, т. е. на отрезке [0; 1] ряд сходится неравномерно. Но на отрезке
[1/2; 1] он сходится равномерно, ибо тогда при любом ж I.Rn I < — < є,
2"
— Ig ?
как только п > ———-; в частности, \Rn\ < 0, 01 при п J> 7. 2464. Остаток знакочередующегося ряда меньше по модулю первого отброшенного
ж"4"1 1
члена. Поэтому на отрезке [0; 1] |Дп(ж)| < - < - < 0,1, как
п + 1 п + 1 только и + 1 > 10 или п > 9. 2465. Ряд имеет
ж3 при ж > 0,
сумму S1
и остаток Rn
При любом и остаток Rn будет больше, например, 0,1, как только ж3 <
< "-уТЇЇ — 1, т. е. при ж J> 0 ряд сходится неравномерно. Но при
ж J> 1 он сходится уже равномерно, ибо тогда при любом ж J> 1 |_R„| <J
1 - Ige
< -—- < є, как только и — 1 > ——-—-; в частности, IRnI < 0,001 при п > 2П 1 Ig 2
^ 11. 2466. При любом неотрицательном ж члены данного ряда меньше
11 1
З + З2 + 33
Следовательно, ряд сходится равномерно для всех ж J> 0, Rn(x) меньше
1/3)" _ _1_
1 - 1/3 ~ 2 • 3"
только 3n_1 > 50, или п > 5, при любом ж > 0. 2467. |Дп(ж)| < —- < ^ 0,0001, как только n J> 100, при любом ж. 2468. и
(или равны) членов числового сходящегося ряда 1 , о , ,
