Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
при перемещении точки M(t) по дуге AB в одном направлении изменяется монотонно; тогда
J Р(х,у, z)dx = J P[f(t),<p(t),rp(t)]f'(t)dt,
6. Криволинейный интеграл. Формула Грина
235
т. е. все переменные и дифференциалы под знаком криволинейного интеграла нужно выразить через одну переменную (t) и ее дифференциал (dt) из уравнений кривой.
3°. Механическое значение криволинейного интеграл а. Интеграл вида J P dx + Q dy + R dz определяет работу при переме-
ab
щении единицы массы по дуге AB в поле, образованном силой F{P; Q; R}.
4°.Случай полного дифференциала. Если в некоторой области (V) P dx + Q dy + Rdz = du, то J P dx + Q dy + Rdz = ив — ua,
ab
т. е. равен разности значений функции и(х, у, z) в точках В ж А ж не зависит от пути интегрирования AB, взятого в области (V). 5°. Формула Грина
Pdx + Qdy = JJ dxdy
(С) (S)
преобразует криволинейный интеграл от P dx + Q dy, взятый (против часовой стрелки) по замкнутому контуру (С), в двойной интеграл по области (S), ограниченной этим контуром.
6°. Площадь, ограниченная контуром (С):
S= — J X dy — у dx.
(с)
2387. Даны точки А(2; 2) и В(2; 0). Вычислить J (х + у) dx :
(С)
1) по прямой OA; 2) по дуге OA параболы у = —; 3) по ломаной ОБА.
2388. Даны точки A(A; 2) и В(2; 0). Вычислить
(х + у) dx — X dy :
(С)
V) по прямой OA; 2) по ломаной ОБА.
2389. Решить задачу 2388 для интеграла
у dx + X dy.
(С)
Почему здесь величина интеграла не зависит от пути интегрирования?
236
Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
2390. Даны точки А(а; 0; 0), В(а; а; 0) и С (а; а; а). Вычислить интеграл
г
у dx + z dy + ж dz
по прямой ОС и по ломаной OABC.
2391. Поле образовано силой F{P; Q}, где P = х — у, Q = = х. Построить силу F в каждой вершине квадрата со сторонами X = +а и у = +а и вычислить работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата.
2392. Поле образовано силой F{P; Q}, где P = х + у, Q = = 2х. Построить силу F в начале каждой четверти окружности X = a cost, у = asmt и вычислить работу при перемещении единицы массы по окружности.
Решить эту же задачу при условии P = х + у, Q = х. Почему здесь работа равна 0?
2393. Поле образовано силой F{y; а}. Определить работу при перемещении массы то по контуру, образованному полуосями координат и первой четвертью эллипса х = a cost, у = Ь sin t.
2394. Поле образовано силой F{a;; у; z}. Вычислить работу при перемещении единицы массы по ломаной ОABCO, соединяющей точки О(0; 0; 0), А(0; а; 0), В(а; а; 0), С(а; а; а).
2395. Написать и проверить формулу Грина для
(ж + у) dx — 2ж dy (С)
по контуру треугольника со сторонами ж = 0, у = 0, ж + у = а. 2396. Вычислить интегралы:
1) / 2ж ydx + x2dy; 2) / cos 2у dx - 2ж sin 2у dy;
AB AB
3) Jtgydx +xsec2 у dy AB
по любой линии от точки A(I; тг/6) до В(2; 7г/4).
2397. Применив формулу Грина, вычислить интеграл
у2 dx + (ж + у)2 dy (С)
по контуру AABC с вершинами А(а; 0), В(а; а) и С(0; а)
6. Криволинейный интеграл. Формула Грина
237
2398. Определить криволинейным интегралом площадь эллипса X = a cos t, у = Ь sin t.
2399. Определить криволинейным интегралом площадь петли кривой X3 + X2 — у2 = 0 (см. рис. 48 на с. 304).
Указание. Перейти к параметрическим уравнениям, положив у = = xt.
2400. Определить криволинейным интегралом площадь петли декартова листа х3 + у3 — Заху = 0 (см. указание к задаче 2399 и рис. 79 на с. 334).
2401. С какой силой притягивает масса М, равномерно распределенная по верхней полуокружности X2 + у2 = а2, массу то, сосредоточенную в начале координат?
Указание. Пусть ц — линейная плотность, ds — элемент длины полуокружности, 9 — угол радиус-вектора с осью Ox, а X л Y — проекции силы притяжения. Тогда
^ J ктц cos в ds ^ J ктц sin # ds
(С) (С)
где к — гравитационная постоянная.
2402. Даны точки А( — а; а) и В(а; а). С какой силой масса М, равномерно распределенная по отрезку AB, притягивает массу то, сосредоточенную в точке (0; 0).
2403. Даны точки А(а; 0), -В(0; а) и С ( — а; 0). С какой силой масса М, равномерно распределенная по ломаной ABC, притягивает массу то, сосредоточенную в начале координат.
2404. Даны точки А(0; 1), В(2; 5) и С(0; 5). Вычислить
j (x + y)dx - 2ydy : (С)
1) по прямой AB; 2) по дуге AB параболы у = х2 + 1; 3) по ломаной AGB.
2405. Даны точки А( — а; 0) и -В(0; а). Вычислить работу силы F{P; Q}, где P = у и Q = у — х, при перемещении единицы массы: 1) по прямой AB; 2) по ломаной АОВ; 3) по дуге AB
X2
параболы у = а--.
а
2406. Показать, что
j> ydx + (х + у) dy
(С)
238
Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив интеграл по контуру фигуры, ограниченной линиями у = ж2 и у = А.
2407. Написать и проверить формулу Грина для интеграла
Jy X
(С)
взятого по контуру AABC с вершинами A(I; 1), В(2; 1) и С(2; 2).
2408. С помощью криволинейного интеграла определить площадь фигуры, ограниченной астроидой ж = acos3t, у = asm3t.
2409. С помощью криволинейного интеграла определить площадь, ограниченную кривой у2 + ж4 — ж2 = 0. (Перейти к параметрическим уравнениям, положив у = xt.)
