Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2358. az = а2 - ж2 - у2, z = 0, ж2 + у2 ± аж = 0 (внутри цилиндров).
ж2 у2 Z2 2359. — + |- + — = 1.
az cz
Указание. Положить х = ar cos <р, у = br sin ср.
§ 4. Площади кривых поверхностей
Площадь а части поверхности F(x, у, z) = 0, проекция которой на плоскость Z = O определяет область (<tz), равна
Г Г JIdF/дх)2 + (dF/ду)2 + (dF/dz)2 , ,
" = //-WJlT\-dxdy =
dx dy.
\dF/dz
Аналогично при проектировании на две другие координатные плоскости получим
232
Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
Вычислить площадь:
2360. Поверхности цилиндра Iz = ж2, отсеченной плоскостями у = ж/2, у = 2ж, ж = 2^/2.
2361. Поверхности конуса z2 = 2ху, отсеченной плоскостями ж = а и у = а, при ж ^ 0 и у ^ 0.
2362. Поверхности конуса у2 + z2 = ж2, расположенной внутри цилиндра ж2 + у2 = а2.
2363. Поверхности az = ху, расположенной внутри цилиндра ж2 + у2 = а2.
2364. Поверхности конуса ж2 + у2 = z2, расположенной внутри цилиндра z2 = 2рх.
Вычислить площадь:
2365. Поверхности цилиндра ж2 + z2 = а2, расположенной внутри цилиндра ж2 + у2 = а2.
2366. Поверхности шара ж2 + у2 + z2 = а2, расположенной внутри цилиндров ж2 + у2 ± ах = 0.
2367. Поверхности параболоида ж2 + у2 = 2az, расположенной внутри цилиндра ж2 + у2 = За2.
2368. С помощью двойного интеграла определить площадь части земной поверхности, ограниченной меридианами 0° и ?°, экватором и параллелью а°. Рассмотреть частный случай при а = 30°,
Тройным интегралом от функции f(x, у, z), распространенным на область (V), называется предел соответствующей трехмерной интегральной суммы:
где Ахі = xi+i - Xi, Ayj = уj+i - yj, Azk = zk+x - zk и сумма распространена на те значения j и к, для которых точки (ж8; уу, zk) принадлежат области (V).
Если область (V) определена неравенствами
? = 60°.
§ 5. Тройной интеграл и его приложения
a ^ X ^ Ъ, уі(х) ^ у ^ у2(х), Z1(X, у) z z2(x, у),
то
///
F(x, у, z) dx dy dz
ь
I
a
5. Тройной интеграл и его приложения
233
При F(x, у, z) = 1 получаем объем V. Координаты центра масс однородного тела объемом V вычисляются по формулам:
2369. Определить объем тела, ограниченного поверхностями az = ж2 + у2, 2az = a2 - х2 - у2.
2370. Определить объем тела, ограниченного поверхностями X2 + у2 — z2 = 0, X2 + у2 + z2 = а2, внутри конуса.
2371. Показать, что поверхность конуса х2 + у2 — z2 = 0 делит объем шара х2 + у2 + z2 = 2az в отношении 3 : 1.
2372. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями X + у + z = а, ж = 0, у = 0, z = 0, если плотность в каждой ее точке равна аппликате z этой точки.
Определить центр масс однородного тела, ограниченного поверхностями:
2373. X + у + z = а, х = 0, у = 0, Z = 0.
2374. az = а2 - X2 - у2, z = 0.
Определить момент инерции относительно оси Oz тела, ограниченного поверхностями (плотность /1=1):
2375. X = 0, у = 0, у = a, z = 0, х + z = а.
2376. X + у + z = ал/2, х2 + у2 = a2, z = 0.
2377. Определить объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью:
Указание. Перейти к сферическим координатам по формулам х = = г sin 0 cos (р, у = г sin в sin Lp, z = rcosp; элемент объема dV = = г2 sin в dr dp dO.
Определить объемы тел, ограниченных поверхностями:
2378. az = X2 + у2, ж2 + у2 + z2 = 2а2.
2379. ж2 + у2 - z2 = 0, z = 6- X2 - у2.
2380. az = X2 + у2, z2 = ж2 + у2.
2381. Определить массу тела, ограниченного поверхностями ж2 + у2 — z2 = 0 и z = h, если плотность в каждой точке его равна аппликате этой точки.
234
Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
2382. Определить массу тела, ограниченного поверхностями
2ж + z = 2a, X + z = а, у2 = ах, у = О
(при у > 0), если плотность в каждой его точке равна ординате у этой точки.
2383. Определить центр масс однородного полушара х2 + у2 + + z2 = a2, Z = 0.
2384. Определить момент инерции относительно оси Oz тела, ограниченного поверхностями z2 = 2ах, z = 0, х2 + у2 = ах.
2385. Определить объем тела, ограниченного поверхностью (ж2 + у2 + z2)2 = axyz (перейти к сферическим координатам) (см. задачу 2377).
2386. Определить массу сферического слоя между поверхностями ж2 + у2 + z2 = а2 и ж2 + у2 + z2 = Aa2, если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию от точки до начала координат (перейти к сферическим координатам).
§ 6. Криволинейный интеграл. Формула Грина
1°. Определение криволинейного интеграла. Пусть на
дуге AB, спрямляемой кривой, определена непрерывная функция P(x,y,z).
Разобьем дугу на части точками А(хо', Уо', Zo), М\(х\, у\, z\), ...
. . ., М„_і(ж„_і; Уп-ъ zn-i) и В(хп; уп; Zn) и пусть ж8--ж8-_1 = Аж8. Топ
гда Hm P(xii Hit •^8)Ax8- называется криволинейным интегралом,
Ax1^O i = l
взятым по дуге AB, и обозначается J Р(х, у, z) dx. Аналогично определи
ляются интегралы J Q(x, у, z)dy, J R{x, у, z) dz и J P dx + Q dy +
AB AB AB
+ R dz как сумма предыдущих интегралов. Наконец, встречается еще криволинейный интеграл вида
/п ._____.
Р(х, у, z)ds = Hm V]Р(х{, у{, ^8)As8, где As8- = М8_іМ8. As1-)-0 z—*
_ г' = 1
AB
2°. Вычисление криволинейного интеграла. Пусть кривая AB задана уравнениями х = f(t), у = f{t), z = ф{і), а параметр t
