Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
228
Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
\J\du dv, где J
дх du дх dv
,2 _
положить у = их, vy полярным координатам х
,2 _ „„. „,2 _
ду_ ди ду_
dv
и называется якобианом. В задаче 2302
а в задаче 2303 перейти к обобщенным 3 — г sin3 Lp.
2302. у1 = ax, y-
2303. ж2/3 + у2/3
г cos р и у =
¦ 16аж, ау2 = ж3 а2/3.
16ау
Вычислить площади, ограниченные линиями:
2304. у = ж2, у = ж + 2.
2305. аж = у2 - 2ау и у + ж = 0.
2306. у = sin ж, у = cos ж и ж = 0.
2307. у2 = а2 - аж, у = а + ж.
2308. г = 4(1 + cos <р>), г cos с/з = 3 (справа от прямой).
2309. г = а(1 — со&<р), г = а и расположенную вне кардиоиды.
2310. жу =1, жу = 8, у2 = ж, у2 = 8ж.
2311. Построить области, площади которых выражаются интегралами:
Ъ X a J2a2-y2 4
1) j dx j dy; 2) J dy j dx; 3) J dx J dy.
a a 0 jby- 0 2V^
Изменить порядок интегрирования и вычислить площади.
§ 2. Центр масс и момент инерции площади с равномерно распределенной массой (при плотности = 1)
Координаты центра масс площади S с равномерно распределенной на ней массой:
ff x dx dy ff у dx dy
Хс=П s , Ус = П У3 ¦ (1)
Моменты инерции площади S:
Jx = JJ у2 dx dy, Jy = JJ x2 dx dy, Jq = JJ r2 dx dy. (2)
(S) (S) (S)
2. Центр масс и момент инерции площади
229
Определить центр масс площади, ограниченной линиями:
2312. у = 0 и одной полуволной синусоиды у = sin ж.
2313. у = X2, X = 4, у = 0. 2314. у2 = ах я у = х.
2315. ж2 + у2 = а2 и у = 0.
2316. Определить центр масс площади, ограниченной астроидой ж2/3 + у2/3 = а2/3 и осью Ож.
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам
X = г cos3 if и i/= г sin3 <,?>.
2317. Определить моменты инерции Jx, Jy и Jq площади прямоугольника, ограниченного линиями ж = 0, ж = а, у = 0и у = Ь.
2318. Определить момент инерции относительно оси Ож площади, ограниченной линиями у = ж/2, ж = а, у = а.
2319. Определить момент инерции относительно оси Oy площади треугольника с вершинами A(O; 2а), В(а; 0) и С (а; а).
В задачах 2320-2323 определить полярный момент инерции площади, ограниченной линиями:
2320. ж + у = а, ж = 0, у = 0. 2321. г2 = a2 cos 2<f.
2322. Окружностью г = а.
2323. у2 = ах, X = а.
Определить центр масс:
2324. Полусегмента параболы у2 = ах, ж = а, у = 0 (при у > 0).
ж2 у2
2325. Полуэллипса — + —- = 1, отсеченного осью Ож.
а2 Ъг
2326. Определить момент инерции относительно оси Oy пло-
X 2
щади, ограниченной линиями у = а -\--, у = 2жиж = 0.
а
2327. Определить момент инерции относительно оси Ож площади треугольника с вершинами A(I; 1), В(2; 1), С(3; 3).
Определить полярный момент инерции площади, ограниченной линиями:
2328. - + % = 1, ж = 0, у = 0.
а о
2329. у = 4-ж2иу = 0. 2330. г = а(1 - cos .
230
Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
§ 3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = F(x, у), снизу — плоскостью z = 0hc боков — цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу область (S), равен
V = JJ z dx dy = JJ F(x,y)dxdy.
(S) (S)
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
2331. z = x2 Ar у1, X Ar у = 4, X = 0, у = 0, z = 0.
2332. z = X + у + а, у2 = ax, х = a, Z = 0, у = 0 (при у > 0).
2333. (ж + у)2 + az = а2, ж = 0, у = 0, z = 0 (поверхность построить по сечениям: ж = 0, у = 0, z = 0, z = h а; см. задачу 546).
2334. ж2 + у2 = а2, ж2 + z2 = а2 (см. задачу 552).
2335. z2 = ху, X = а, ж = 0, у = а, у = 0.
2336. az = X2 - у2, z = 0, ж = а.
2337. z2 = ху, X + у = а.
2338. ж + у + z = За, ж2 + у2 = а2, z = 0.
Указание. В задачах 2338-2344 перейти к полярным координатам.
2339. z = тх, ж2 + у2 = a2, z = 0.
2340. az = a2 - ж2 - у2, z = 0.
2341. ж2 + у2 + z2 = 4а2, ж2 + у2 = а2 (вне цилиндра).
2342. ж2 + у2 + z2 = а2, ж2 + у2 ± аж = 0 (внутри цилиндров).
-у
2343. Первым завитком геликоида у = ж tg — внутри цилиндра
a
ж2 + у2 = а2 и плоскостью z = 0.
2344. z2 = 2аж, ж2 + у2 = аж.
z ж у
2345. - = 1 - — - f-, z = 0.
с az oz
Указание. В задачах 2345 и 2346 перейти к обобщенным (эллиптическим) полярным координатам: х = ar cos <р, у = brsnup.
2346. z = ce(-2/a2)-U/2/b2) и ^ + Й = 1.
a
2
52
2347. ж2/3 + у2/3 + Z2/3 = а2/3 (положить ж = rcos3cp, у г sin3 со).
§4. Площади кривых поверхностей 231
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
2348. z = a — ж, у2 = ах и z = 0.
2349. z = X2 + у2, у = X2, у =1, z = 0.
2350. у2 + z2 = 4аж, у2 = ах, х = За (вне цилиндра).
X2 z2 X2 у2
2351. — + — = 1, _+ =
а
2 Ь2 'а2 Ь2
2352. Коноида ж2у2 + h2z2 = а2у2 при 0 ^ у ^ /г (см. задачу 559).
2353. ж2/3 + Z2/3 = а2/3, ж2/3 + у2/3 = а2/3.
2354. 4z = 16 - ж2 - у2, z = 0, X2 + у2 = 4 (вне цилиндра). Указание. В задачах 2354-2358 перейти к полярным координа-
там.
Л _ і „\2 „2 і „,2 _ „2
2356. г = ^ г = 0, ж2 + у2 = 1, ж2 + у2 = 4.
7*-^ _|_ 7/-^
2355. г2 = (ж + а)2, ж2 + у2 = а2. 4
+V
2357. аг = ж2 + у2, г = 0, ж2 + у2 ± аж = 0.
