Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
1°. Если в дифференциальном уравнении P dx + Q dy = 0
—— = -^-, то оно приобретает вид du = 0 и его общий интеграл будет Oy Ox
и = С.
QP QQ
2°. Если —— ф ——, то при некоторых условиях существует функция Oy Ox
IJ1(X, у) такая, что цР dx + nQ dy = du. Эта функция ц(х, у) называется интегрирующим множителем.
214
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
Интегрирующий множитель легко найти в случаях:
1N дР/ду — dQ/dx г
1) когда -—- = Ф(х), тогда In ц = J Ф(х) dx;
Ui
„. dQ/dx — дР/ду г
Z) когда -—- = Фі(у), тогда In u = J ФЦг/) си/.
Дифференциальные уравнения § 4 являются частными случаями уравнений, рассматриваемых в настоящем параграфе.
Решить следующие дифференциальные уравнения «в полных дифференциалах»:
2135. (а - О dx + —dy = 0.
2
2136. Зж V гіж + (х3еу - 1) dy = 0.
2137. е_г/ dx + (l- хе~У) dy = 0.
2138. 2ж cos2 у йж + (2у - ж2 sin 2у) dy = 0.
Найти интегрирующие множители и решить дифференциальные уравнения:
2139. (ж2 - у) dx + ж dy = 0.
2140. 2ж tg у б?ж + (ж2 - 2 sin у) dy = 0.
2141. (е2х - у2) dx + ydy = 0.
2142. (1 + Зж2 sin у) dx — ж ctg у dy = 0.
Показать, что левые части следующих дифференциальных уравнений суть полные дифференциалы, и решить уравнения:
2143. (Зж2 + 2у) dx + (2ж - 3) dy = 0.
2144. (Зж2у - 4жу2) dx + (ж3 - 4ж2у + 12у3) dy = 0.
2145. (ж cos 2у + 1) dx — ж2 sin 2у dy = 0.
Найти интегрирующие множители и решить уравнения:
2146. у2 dx + (уж - 1) dy = 0.
2147. (ж2 - Зу2) dx + 2жуау = 0.
2148. (sin ж + еу) dx + cos ж dy = 0.
2149. (ж sin у -\- у) dx -\- (ж2 cos у + ж In ж) dy = 0.
6. Уравнения Лагранжа и Клеро
215
§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро
1°. Если уравнение F(x, у, у1) = 0 второй степени относительно у', то оно имеет два решения относительно у': у' = /і(ж, у) и у' = f2(x, у), непрерывных относительно X и у в некоторой области, а геометрически определяет в любой точке (жо; Уо) этой области два направления интегральных кривых.
Такие дифференциальные уравнения F(x, у, у') = 0, кроме общего интеграла Ф(ж, у, С) = 0 и частных интегралов, иногда имеют еще особый интеграл, не содержащий произвольной постоянной и в то же время не получающийся из общего ни при каком значении постоянной.
Особый интеграл, если он существует, можно получить, исключив р = у' из уравнений F(x, у, р) = 0 и F^(x, у, р) = 0 или же исключив
С из общего интеграла Ф(ж, у, С) = 0 и Ф'с = 0. Геометрически особый интеграл определяет огибающую семейства интегральных кривых1). 2°. Уравнение Лагранжа
у = xf(p) + <р(р), (1)
где р = у', интегрируется следующим образом. Продифференцировав (1) по х, найдем:
P = № + [xf(p) + <p'(p)]-?-
dx
Это уравнение линейное относительно х и ——. Решив его, получим:
х = СА{р) + В{р). (2)
Уравнения (1) и (2) будут параметрически определять общий интеграл. Исключив из них параметр р (если это возможно), получим общий интеграл в форме Ф(ж, у, С) = 0.
3°. Уравнение Клеро
у = рх + <р(р) (3)
является частным случаем уравнения Лагранжа. Оно имеет общий интеграл у = Cx + (р(С) и особый, получающийся исключением параметра р из уравнений у = рх + (р(р) и х = —ср'(р).
2150. Построить несколько интегральных кривых уравнения у'2 = Ay. Какие две интегральные кривые проходят через точку M(I; 4)?
1) См. определение огибающей на с. 200
216
Гл.12. Дифференциальные уравнения
2151. Построить интегральные кривые уравнения у'2 + у2 —
— 1 = 0. Какие две интегральные кривые проходят через точку М(тг/2; 1/л/2)?
2152. Показать, что интегральные кривые уравнения ху12 —
— 2уу' + 4ж = 0 содержатся внутри острого угла между прямыми у = ±2ж. Построить интегральные кривые, полагая в общем интеграле постоянную С = ± —, ±1, ±2 и т. д.
2153. Решить уравнения:
1) УУ'2 + у'(х - у) - х = 0; 2) ху'2 + 2жу' - у = 0 и построить интегральные кривые.
2154. Решить уравнения, не содержащие явно одной из переменных:
1)у=1 + у'2; 2)ж = 2у'-4^-
У'2
Указание. Обозначив у' через р, продифференцировать первое уравнение по ж, а второе — по у.
2155. Найти общие и особые интегралы уравнений Лагранжа: 1) у = ху'2 + у'2; 2) у = 2жу' 4- ; 3) 2у
1 о ХУ
У'2 У' + 2
2156. Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и построить интегральные кривые:
1) у = ху' - у'2; 2) у = ху' - ал/1 + у'2; 3) у = ху' +
2у
/2 '
2157. Построить интегральные кривые уравнения у'2 + у = 1. Какие две интегральные кривые проходят через точку M(I; 3/4)?
2158. Решить уравнения, не содержащие явно одной из переменных: 1) у = у + у , 2) ж — -
,/2
2159. Решить уравнение у = 2у'х + — + у'2.
2160. Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и построить интегральные кривые:
1)у = у'х+-- 2) у = ху' + у' + у'2. У'
2161. Найти кривую, касательные к которой образуют с осями координат треугольник постоянной площади, равной 2а2.
2162. Найти кривую, касательная к которой отсекает на осях координат отрезки, сумма которых равна а.
