Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 61

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 100 >> Следующая

2084. dr + г tg р> dip = 0; г = 2 при р> = тг.
2085. у' = 2^/уЫ ж; у = 1 при ж = е.
2086. (1 + ж2)у' + y\/l + ж2 = ху; у = 1 при ж = 0.
2087. Определить кривую, проходящую через точку А( — 1; 1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.
3. Дифференциальные уравнения первого порядка 211
2088. Кривая проходит через точку A(O; a), MN — произвольная ордината кривой. Определить кривую из условия, что площадь OAMN = a(MN - а).
2089. Определить и построить кривую, проходящую через точку ( — 1; —1), для которой отрезок ОТ, отсекаемый на оси Ox касательной к кривой в любой ее точке, равен квадрату абсциссы точки касания.
2090. Найти ортогональные траектории семейства гипербол ж2 — - 2у2 = а2.
2091. Определить кривую, радиус-вектор любой точки которой равен отрезку нормали между кривой и осью Ох.
2092. Определить линию, если площадь, ограниченная осями координат, этой линией и произвольной ее ординатой, равна 1/3 площади прямоугольника, построенного на координатах конечной точки кривой.
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка: 1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли
1°. Однородное уравнение. Уравнение P dx + Q dy = 0 называется однородным, если PmQ — однородные функции от х и у оди-
г> аУ (У\
накового измерения. Оно приводится к виду — = ip 1 — 1 и решается
dx \х J
„ У
подстановкой — = и или у = их.
X
2°. Линейное уравнение. Дифференциальное уравнение называется .линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и всех ее производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид у' + Py = Q. Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой у = uv. Другой способ решения (вариация произвольной постоянной) состоит в том, что сначала решаем уравнение у' + Py = 0; получаем у = — Ае~ I р dx, Подставляем это решение в данное уравнение, считая А функцией х, и затем находим А' и А.
3°. Уравнение Бернулли у' + Py = Qy" решается так же, как и линейное, подстановкой у = uv или вариацией произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой z = у1-".
Решить дифференциальные уравнения:
2093. уу' = 2у - х. 2094. ж2 + у2 - 2хуу' = 0.
ds s t Зу
2095. — =---. 2096. у'- — =
dt t s X
-х2 Є Х
, 2w
2097. у' + — =
2098. у1 cos ж — у sin ж = sin 2а
212
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2099. у'х + у = -ху2. 2100. у' - ху = -у3е~х.
2101. ху' cos — = у cos — — ж.
2102. ж V = У2 + ху. 2103. жу' + у = In ж + 1.
2104. ж2у2у' + уж3 = 1.
В задачах 2105-2107 найти частные интегралы по данным начальным условиям:
2105. у + \JX2 + у2 — жу' = 0; у = 0 при ж = 1.
0 (is
2106. і2— = 2t.s - 3; s = 1 при і = -1.
2107. жу' = у (1 + In — ); у = —р при ж = 1.
V ж/ -v/e
2108. Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке которых есть среднее арифметическое координат точки касания.
2109. Найти ортогональные траектории семейства окружностей X2 + у2 = 2аж.
2110. Сила тока г в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и электродвижущей силой E удовлетворяет дифференциальному уравнению
L-A-Ri = E. dt
Решить это уравнение, считая R и L постоянными, а электродвижущую силу E линейно нарастающей: E = kt. Начальные условия: і = 0 при t = 0.
2111. Найти форму зеркала, отражающего все лучи, выходящие из данной точки, параллельно данному направлению.
Указание. Рассматривая плоское сечение зеркала, примем в нем данную точку за начало координат, а данное направление — за ось Оу. Касательная к искомой кривой в точке M образует равные углы с OM и осью Оу, т. е. отсекает на оси Oy отрезок ON = OM.
Решить дифференциальные уравнения: 2112. жу + у2 = (2ж2 + ху)у'. 2113. (я2 + ж2)у' + ху = 1. 2114. ху' + 2у/ху = у. 2115. (2ж + 1)у' + у = ж.
2116. у' - у tg ж = ctg ж. 2117. tds-2sdt = t3 In t dt
2118. у' + жу = жу3. 2119. у' + у cos ж = sin 2ж.
2120. у' = ^ - у = 1 при ж = -1.
2121. Зу2у' + у3 = ж + 1; у = -1 при ж = 1.
4. Уравнения с дифференциалами произведения и частного 213
2122. (1 — х2)у' — ху = ху2; у = О, 5 при х = О.
2123. Определить кривую, проходящую через точку А(а; а), если расстояние от начала координат до касательной в любой точке кривой равно абсциссе этой точки.
§ 4. Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы произведения и частного
у\ X dy — у dx ( х\ у dx — X dy
/у\ xdy-ydx , (х\ (ху) = X dy + у dx; dy-J =-—-; d i - i
y2
Такие уравнения иногда легко решаются, если соответственно пологе у
жить ху = и, у = — или — = и, у = их.
Решить дифференциальные уравнения:
2124. X2 dy + ху dx = dx. 2125. у2х dy — у3 dx = х2 dy.
Указание. В примере 2125 уравнение приводится к виду
у2 d ^ = dy или у2 du = dy.
2126. у dx + (х - у3) dy = 0.
2127. у dx — (х — у3) dy = 0.
2128. у cos X dx + sin х dy = cos 2х dx.
ds
2129. t— - s = s2 In t. 2130. ж2у2 + 1 + х3уу' = 0.
си
2131. t2s dt + t3ds = dt. 2132. x dy - у dx = x2 dx. 2133. жу' + tg у = 2ж sec у. 2134. у (ye~xl2 + l) = жу'.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed