Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 60

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 100 >> Следующая

В такой области уравнение (3) имеет общее решение у = <р(х, С), или общий интеграл Ф(х, у, С) = 0, из которого можно найти единственное частное решение, или единственный частный интеграл, удовлетворяющие начальным условиям: у = у0 при х = Xo-
2051. Проверить подстановкой, что функция у = Сж3 является решением дифференциального уравнения Зу — ху' = 0. Построить интегральные кривые, проходящие через точки:
1) (1; 1/3); 2) (1; 1); 3) (1; -1/3).
2052. Проверить подстановкой, что дифференциальные уравнения 1) у" + Ay = 0 и 2) у"' — 9у' = 0 имеют соответственно общие решения: 1) у = Ci cos 2ж + С2 sin 2ж и 2) у = С\ + С2е3х + С?,е~3х.
2053. Построить параболы у = Cx2 при С = 0, ±1, ±2 и составить дифференциальное уравнение семейства таких парабол.
2054. Построить изображения семейства: 1) окружностей ж2 + + у2 = 2Сж, 2) парабол у = ж2 + 2Сж и составить их дифференциальные уравнения.
2055. Построить изображения полей направлений, определяемых каждым из уравнений:
-,s dy у dy dy 2
1)— = -; 2)— = у- ж; 3) — = у + х1.
ChQu X CLX CLX
2056. Построить изображение поля направлений, определяемого уравнением —^ = \/X2 + у2, с помощью окружностей, вдоль
dx
dy 1
которых — = —; 1; 2; 3; ... Нарисовать приближенно интеграль-dx 2
ную кривую, проходящую через начало координат.
§ 2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
1°. Дифференциальное уравнение первого порядка
Pdx + Qdy = 0, (1)
где P n Q — функции X ж у, называется уравнением с разделяющимися переменными, если коэффициенты PmQ при дифференциалах разлагаются на множители, зависящие только от х или только от у, т. е. если
2. Дифференциальное уравнение первого порядка 209
оно имеет вид
f{x)<p{y)dx + f1{x)<p1{y)dy = 0. (2)
Разделив оба члена уравнения (2) на <p(y)fi(x), получим f(x)dx | <pi(y)dy _ п
Л(*) + ч>{у) - 1)
Общим интегралом уравнения (3), а следовательно, и (2) будет f(x)dx i [ Lp^y) dy _ с
fi{x) J <р(у)
2°. Ортогональными траекториями семейства линий F(x, у, a) = 0 называются линии, пересекающие линии данного семейства под прямым углом. Продифференцировав уравнение F(x, у, а) = 0 по ж и исключив а из полученного и данного уравнений, получим дифференциальное уравнение линий данного семейства у' = f(x, у). Тогда дифференциальным уравнением ортогональных траекторий будет
V f(x, у) '
В следующих дифференциальных уравнениях: 1) найти общий интеграл; 2) построить несколько интегральных кривых; 3) найти частный интеграл по начальным условиям у = 4 при X = -2:
2057. ху' - у = 0. 2058. ху' + у = 0. 2059. уу' + X = 0. 2060. у' = у.
Найти общие интегралы уравнений:
2061. х2у' + у = 0. 2062. X + ху + у'(у + ху) = 0.
2063. Lp2 dr +(г - a) dip = 0.
2064. 2st2 ds = (1 + t2) dt.
В следующих уравнениях найти общий и частный интегралы по начальным условиям:
2065. 2у'л/ж = у, у = 1 при х = А.
2066. у' = (2у + 1) ctg ж, у = 1/2 при х = тг/4.
2067. х2у' + у2 = 0, у = 1 при X = -1.
2068. Построить интегральные кривые каждого из уравнений: 1) у'(х2 — 4) = 2ху; 2) у' + ytgx = 0, проходящие через точки: 1) (0; 1); 2) (0; 1/2); 3) (0; -1/2); 4) (0; -1).
2069. Найти кривую, проходящую через точку (1; 1/3), если угловой коэффициент касательной к ней в любой точке кривой втрое больше углового коэффициента радиус-вектора точки касания.
210
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2070. Кривая проходит через точку A(O; a), MN — произвольная ордината кривой. Определить кривую из условия, что площадь OAMN = as, где s — длина дуги AM.
2071. Найти кривую, проходящую через точку (а; а), если под-касательная в любой точке ее равна удвоенной абсциссе точки касания.
2072. Найти кривую, проходящую через точку ( — 1; — 2), если поднормаль ее в каждой точке равна 2.
2073. За какое время тело, нагретое до 100 0C, охладится до 250C в комнате с температурой 2O0C, если до 6O0C оно охлаждается за 10 мин? (По закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур.)
2074. Нагрузка на канат висячего моста (см. рис. 6) от каждой единицы длины горизонтальной балки равна р. Пренебрегая весом каната, найти его форму, если натяжение каната в низшей точке принять за H.
Указание. Возьмем на дуге ОС (рис. 6) произвольную точку М. На часть каната OM будут действовать три силы: горизонтальная H (влево от точки M), вертикальная — вес рх и тангенциальная сила натяжения T (вправо от точки M). Для равновесия сумма проекций сил на Ox и Oy должна равняться 0.
2075. Определить и построить кривую, проходящую через точку Р( — а; а), если отрезок AB любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится точкой касания M пополам.
2076. Найти ортогональные траектории семейства парабол ay = = ж2. Построить их.
2077. Найти ортогональные траектории семейства гипербол ху = с.
2078. Найти ортогональные траектории семейства полукубических парабол ay2 = ж3.
2079. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов ж2 + 4у2 = а2.
Решить уравнения:
2082. у'V'а2 + ж2 = у. 2083. (1 + ж2)у' + 1 + у2 = 0.
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed