Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2028. Пусть и = л/ж2 + у2 + z2. Найти gradM и его длину.
Z X у
2029. Построить изоповерхности поля функции и =---- — —
с а2 о2
и найти производную от и в точке (а; Ь; с) в направлении радиус-вектора этой точки.
12. Экстремум функции двух переменных
205
§ 12. Экстремум функции двух переменных
1°. Необходимые условия. Функция z = F(x, у) может иметь
dF dF
экстремум только в точках, в которых —— = 0 и —— = 0. Эти точки
Ox Oy
называются критическими.
2°. Достаточные условия. Обозначим через А, В и С значения
82F 82F 82F производных , ——— и в критической точке [Xo', 2/0)•
8х2 8х 8у 8у2
Тогда, если:
А В В С при А > 0;
\А В \В С
2)
> 0, то F(x0, i/o) = zmax при А < 0, F(x0, у0) = Zn
3)
А В В С
< 0, то экстремума нет; = 0, то экстремум может быть, а может и не быть (сомни-
тельный случай).
3°. Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции z = F(x, у) при условии, что X ті у связаны уравнением ір(х, у) = 0, составим вспомогательную функцию и = F(x, у) + \<р(х, у).
Координаты экстремальной точки (х; у) должны удовлетворить трем du du
уравнениям: ip(x, у) = 0, — = 0, — = 0, из которых и находятся А,
8х 8у
X и у.
Найти экстремум функции:
2030. z = ж2 - ху + у2 + 9х - 6у + 20.
2031. z = г/л/ж — у2 — X + 6у.
2032. z = X3 + 8у3 - бжу + 1.
2033. z = 2жу - 4ж - 2у. 2034. z = ех12(х + у2).
2035. z = sin ж + sin у + sin (ж + у) при 0^ж^7г/2 и O^ ^ У ^ тг/2.
1 1
2036. Z=- + - при ж + у = 2.
ж у
1 1 1
2037. z = X + у при — + — = -.
Xі yz 2
2038. Определить размеры прямоугольного открытого бассейна, имеющего наименьшую поверхность при условии, что его объем равен V.
2039. Построить эллипс ж2 + 4у2 = 4 и прямую 2ж + Зу — 6 = = 0 и на эллипсе найти точки, наиболее и наименее удаленные от прямой.
2040. На гиперболе ж2 — у2 = 4 найти точку, наименее удаленную от точки (0; 2).
206 Гл.11. Частные производные, полные дифференциалы
2041. Определить размеры цилиндра наибольшего объема при условии, что его полная поверхность равна S* = бтгм2.
2042. 1) В эллипс ж2 + Зу2 = 12 вписать равнобедренный треугольник с основанием, параллельным большой оси, так, чтобы площадь треугольника была наибольшей.
2) Ось Ox расположена на границе двух сред. По какому пути должен пройти луч света из точки A(O; а) в точку В(с; —Ъ), чтобы затратить на прохождение этого расстояния наименьшее время (а > 0, Ъ>0, с > 0)?
а Ъ
Указание. Нужно найти минимум функции T =--1---
Vi cos a V2 cos р
при условии а tg a+b tg ? = с, где v\ и V2 — скорости света в двух средах, а а и ? — углы падения и преломления.
Найти экстремумы функций:
2043. z = Зж + 6у - ж2 - ху - у2.
2044. z = X2 + у2 - 2ж - Ау/ху - 2у + 8.
2045. z = 2ж3 - жу2 + 5ж2 + у2.
2046. z = Зх2 - 2ху/у + у - 8ж + 8.
2047. z = ху при условии, что ж2 + у2 = 2.
2048. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда при условии, что длина его диагонали равна 2^fЗ.
2049. 1) На параболе у2 = 4ж найти точку, наименее удаленную от прямой ж — у + 4 = 0.
ж2 у2
2) В эллипс —- 4- — = 1 вписан прямоугольник наибольшей а2 Ъг
площади. Найти эту площадь.
2050. Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что его боковая поверхность равна S.
Глава 12
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Понятие о дифференциальном уравнении
1°. Обыкновенным дифференциальным уравнением п-т о порядка называется уравнение вида
F(x, у, у', у", j/"))=0, (1)
где у = у(х) — искомая функция. Любая функция у = <р(х), обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции — интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде Ф(х, у) = 0, то оно обычно называется интегралом уравнения (1).
Функция у = ip(x, С\, . . ., Cn), содержащая п независимых произвольных постоянных, называется общим решением уравнения (1), если она является его решением при любых значениях постоянных С\, ... . . ., Cn. Если эта функция задается в неявном виде выражением ф(ж, у, С\, . . ., Cn) = 0, то это выражение называется общим интегралом уравнения (1). Придавая в выражении у = ip(x, С\, . . ., Cn) или в выражении Ф(х, у, С\, . . ., Cn) = 0 определенные значения постоянным С\, . . ., Cn, получаем частное решение или соответственно частный интеграл уравнения (1).
Обратно, имея семейство кривых, задаваемых уравнением ф(ж, у, С\, . . ., Cn) = 0, и исключая параметры С\, . . ., Cn из системы уравнений
ф - о аф - о а"ф - О
' dx ' ' dxn '
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида (1), для которого Ф(х, у, С\, . . ., Cn) = 0 является общим интегралом.
2°. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
Решив уравнение (2) относительно -^-, если это возможно, получим
(3)
208
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
Уравнение (3) определяет наклон k = tg a = -^- = f(x, у) интегральной кривой в точке (х; у), т. е. определяет поле направлений интегральных кривых.
Если в некоторой области функция f(x, у) непрерывна и имеет ограниченную частную производную f'y(x, у), то оказывается, что через каждую внутреннюю точку (жо; уо) этой области пройдет единственная интегральная кривая.
