Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
867. 1) у = ж + sin ж; 2) у = ж + ctg ж.
868. 1) у = ж2 sin ж; 2) у = ж2 tg ж.
t 2
869. 1) у = ^Jx cos ж; 2) s = ^ — •
870. 1) у = ж-^--^; 2) у =^—|.
ж 6XO Xі + 1
871. 1) у= Л +^L") ; 2) у = ,С°8Ж .
7 \ i?) 1 + 2 sin ж
872. /(ж) = V^2; найти /'(-8).
873. /(ж) = найти /'(0), f(2) и /'(-2).
§ 2. Производная сложной функции
Если у = /(и), а и = <?>(ж), то у называется функцией от функции или сложной функцией от ж. Тогда
dy dy du , ,
Формулы предыдущего параграфа примут теперь общий вид:
1) (wn)' = nun~lu'; 2) (sin и)' = cos и • и';
и1
3) (cos и)' = — sin и ¦ и'; 4) (V")' = •
2уи
и' и'
5) (tg«)' = —6) (ctg«)':
sin2 и
Найти производные функций:
874. 1) у = sin 6ж; 2) у = cos (а — 6ж).
875. 1) у = sin —h cos —; 2) у = 6 cos —.
і у 2 2 7 З
ї2
876. 1) у= (1-5ж)4; 2) у = \У(4+За
877. 1) у = ^2)S і 2) у = Vl - ж2; 3) у = Vcos4S.
878. у = V2^^^in~2lc. 879. у = sin4 ж = (sin ж)4.
880. 1) у = sin2 ж; 2) у = cos2 ж; 3) у = sec2 ж.
881. у = sin3 ж + cos3 ж. 882. у = tg3x - 3 tg ж + Зж.
883. у = y/l + cos2 ж. 884. у = sin
З. Касательная и нормаль к плоской кривой
111
885. у = \J\ + sin 2ж — \J\ — sin Ix.
886-У = (Л , 1 Л5. 887. y = ctg3^.
. 2
888. у = 889. у = жл/ж2 - 1.
У COSS у
890. у =--. 891. s = acos2-.
X a
892. 1) r = ay/cos 2ср; 2) г = у 2(^ + cos2 ^ + ^
893. /(і) = Va2 + б2 - 2abcost; вычислить
/'(тг/2), f'(ir), f№
894. /(ж) = sjx + 207; найти /'(I).
Найти производные функций:
895. у = \J\x + зіп4ж. 896. у = х2 \fl
897. у = sin4 ж + cos4 ж. 898. у = Vl + cos 6ж.
2 1
899. 1) у = tg ж H— tg3x H— tg5a:; 2) у = sin2 ж3.
3 5
nnn 1 + вт2ж /? . t 900. у = q-:—901. s = \--sm -.
у 1 - sm 2ж у 2 2
902. г = с." (J- I) . 993.,,= ^+1. 904. /(i) = Vl + cos2 t2; найти /' ("у") •
§ 3. Касательная и нормаль к плоской кривой
Угловой коэффициент касательной к кривой у = f(x) в точке кривой (жо; J/о) равен значению производной функции f(x) в точке ж о:
А = tg^ = f'(x0) = V1U=X0- (1)
Число к называют иногда наклоном кривой в точке (жо; i/o)-
Уравнение касательной в точке М(жо! J/о) на кривой (рис. 26):
у - уо = k(х - X0). (2)
112
Гл.6. Производная и дифференциал
Уравнение нормали:
У-Уо
X0
(3)
где к определяется формулой (1).
Отрезки ТА = уо ctg ip, AN = y0tgcp (рис. 26) называются соответственно подкасательной и поднормалью, а длины отрезков MT и
MN — длинами касательной и нор-
905. Найти наклоны параболы 2 в точках ж = ±2.
906. Написать уравнение касательной и нормали к параболе у =
/ = 4 — ж? в точке пересечения ее с ^J-* ^-wQaoXfye (при X > 0) и построить параболу, касательную и нормаль.
(р \В задачах 907-910 написать іньгх Kj кривым и^нрстроить кривые и касатель-
0908. К кривой у2
909. К локону у = ^
910. К синусоиде у = sin х в точке ж = тг.
911. Под каким углом кривая у = sin ж пересекает ось Ож?
912. Под каким углом пересекаются кривые
2у
и 2у
913. Найти длину подкасательной, поднормали, касательной и нормали кривой: 1) у = ж2; 2) у2 = ж3 в точке ж = 1.
914. Доказать, что подкасательная параболы у2 = 2рж равна удвоенной абсциссе точки касания, а поднормаль равна р.
915. В уравнении параболы у = ж2 + Ьх + с определить бис, если парабола касается прямой у = ж в точке ж = 2.
916. Написать уравнения касательных к гиперболе жу = 4 в точках жі = 1 и ж2 = —4 и найти угол между касательными. Построить кривую и касательные.
А. Случаи недифференцируемости непрерывной функции 113
В задачах 917-919 написать уравнения касательных к кривым и построить кривые и касательные к ним:
917. у = Ax — ж2 в точках пересечения с осью Ох.
918. у2 = 4 — X в точках пересечения с осью Oy.
919. у2 = (4 + ж)3 в точках пересечения с осями Ox и Oy.
920. Найти расстояние вершины параболы у = ж2 — 4ж + 5 от касательной к ней в точке пересечения параболы с осью Oy.
921. Под каким углом прямая у = 0,5 пересекает кривую у = cos ж?
922. В какой точке касательная к параболе у = ж2 + 4ж параллельна оси Ож?
923. В какой точке параболы у = ж2 — 2ж + 5 нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла?
924. Найти длину подкасательной, поднормали, касательной и
2
нормали кривой у =-- в точке ж = 1.
1 + Xі
X2
925. Какие углы образует парабола у = — с ее хордой, абсциссы концов которой равны 2 и 4?
§ 4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции
1°. Угловая точка. Точка А(х\, у\) кривой у = f(x) (рис. 27) называется угловой, если в этой точке производная у' не существует, но существуют ,левая и правая различ-
г АУ и ные производные: um - = k\ и
Дж->-о Ax
v At/ um ——
Дж->+о Ax
к'2- Из угловой точки вы-
ходят два касательных луча с наклонами ki и к'2-
2°. Точка возврата с вертикальной касательной. Точка В(х2', У'2.) (рис. 27) называется точкой возврата с вертикальной касательной, если в этой точке производная у' не существует, но существуют левая и правая бесконечные производные разного знака (+схэ и — оо
