Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
х3 + х2 + 1 1 Примеры: 1) кривая у =--- = х + 1 -\--- имеет асимптоту
п\ а Х n а у = X + 1 (и асимптоту х = 0); 2) кривая у = - = 0 H--имеет
X — а X — а
асимптоту у = 0 (рис. 25).
f(x)
III. Если существуют конечные пределы Hm - = к и
х—)- + оо или — OO X
lim [f{x) — кх] = к, то прямая у = кх + Ь есть асимптота.
г—)+ OO или —оо
4
827. Определить асимптоты кривой у = 1 — — и построить
ж2
кривую по точкам ж = ±1, ±2, ±4.
106
Гл.5. Введение в анализ
В задачах 828-830 найти асимптоты кривых, выделив из дроби линейную целую часть; построить асимптоты и кривые:
2,-1 2 2
>• _L_ >• <т>
828. l)y=^-±i; 2)у=-^-; 3) у
+ 1' 73 ж2 + 1' 829 _ ^ І* 21 _ ^ ^ ^ 31 _ ^
1 *~\\х ?~\ \ X \ *~\\х X
830. 1) у = ; , Г; 2) у= -; 3) у - -.
> у 1 + 2ж' > у ж2 + 1' ' У ж2 +4
Найти асимптоты кривых и построить кривые:
831. 1) ж2 - у2 = а2; 2) ж3 + у3 = Зажу; 3) у = ж — 2 arctgж; 4) у = arctg Ж .
832. 1) у = л/ж2 + 1 - \/ж2 - 1;
2) у = л/ж2 + 1 + л/ж2 - 1; 3)у = ж--^.
л/ж
ж4 + 1 ж3 + ж2 — 2
833. Построить кривые: 1) у = -; 2) у = - и
Зж ж + 1
параболы, к которым эти кривые асимптотически приближаются.
834. Найти асимптоты кривых: 1)у= 1--;2)у = —ж +
2х2
— и построить кривые по точкам ж = ± —, ±1, ±2.
2
835. Найти асимптоты кривых и построить кривые:
~ 4 ~2 „.2
2ж +"4' ~7 " 2-2
§ 10. Число
Числом е называется предел
Hm I 1
п—)-оо
(l+-l = Hm (l+-l = Hm (1 + a)1/a = е.
\ П J п->-оо у п J а-?0
Это число иррациональное и приближенно равно е = 2,71828. . . Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются logg X = In х.
Десятичный логарифм: Ig ж = Minx, где M = 0,43429. . .
10. Число е
107
Найти пределы:
( 5V 5
836. Hm (1--) (положить--= а).
га->оо \ TlJ Tl
( \\п / 4\ п+3
837. 1) lim 1--; 2) Hm 1 + -
га->оо у Зга/ га->-оо у Tl
838. 1) Hm (1 + 2x)llx; 2) Hm (1 - 4х)^-хУх.
х—>0 ж—>0
839. 1) Hm - : 2) Hm
2ж - Iх 2х
2„\cte?x
га->оо V4K + 1/ х^-со у2ж + 1
840.1) Hm п[1п (п + 3)-Inn]; 2)lim(l + 3tg
га—>оо ж—>0
841. Hm (cosж)с*§2:Е (положить sin2 ж = а).
х—уО
In (1 + а) , , е~х - 1 , , а2ж - 1
842. 1) Hm —-——-; 2) Hm -; 3) Hm -.
а-»0 а х^О X х^О X
Указание. В примере 2) положить е~х — 1 = а.
843. Найти последовательные целые числа, между которыми содержится выражение 6(1 — 1,01-100).
Найти пределы:
2хЗга /ra_3W2
844. 1) lim 1+- ; 2) Hm
га->схэ V Tl J га->схэ у Tl
, Зж - 2\2х , , е~3х - 1
845. 1) Hm - : 2) Hm
->сю V4 Зж + Ij X^rO X
846. Hm (sin 2ж)*ё; 2ж (положить cos2 2ж = а).
х—їтт/4
847. 1) lim, ,1--; 2) Hm га [in га - In (га + 2)].
' І-ю In (1 + Xt)1 ' га^оо L
Глава 6
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 1. Производные алгебраических и тригонометрических функций
1°. Определения. Производной функции у = f(x) в точке X называется предел
Hm Л'+ а»)-/W = ит ау (1)
Ах->0 Ax Ах->0 Ax
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке х; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.
Если же предел (1) равен +оо (или —оо), то будем говорить, что функция f(x) имеет в точке X бесконечную производную, однако при дополнительном условии, что функция в этой точке непрерывна.
тт а і tu \ аУ df(X) ті
Производная обозначается у или J (х), или —, или —-—. Нахо-
ах ах
ждение производной называется дифференцированием функции. 2°. Основные формулы дифференцирования: 1)(с)' = 0; 2) (хпу = пх"-1; 3) (си)' = си'; 4) (и + v)' = и' + Vі; 5) (иг;)' = u'v + иг/; , /и\' u'v —v'u . , _, , 1
6) - =---—; 7) ysy
8) (sin х)' = cos х; 9) (cos х)' = — sin х; 10) (*gХУ = H) (ct8ж)' = --V-
sm X
Ay
848. Вычислением hm —— найти производные функций: д^-ю Ax
І) у = Xі; 2) у = X4; 3) у = х/х; 4) у = sin
.1.1 ,1 ,
У =-/i 6)У=—; 7J У = "г! 8)y = tg:
9) у =^; 10)у = УГ+~2Ї; П) у 1
сз> -у у - V - , —, -у Зж + 2' 12) у = х/1 + ж2.
1. Производные алгебраических и тригонометрических функций 109
Найти по формулам производные функций:
849. 1
850. 1
851. 1
852. 1
853. 1
854. 1
855. 1
856. 1
857. 1
858. 1
859. 1
860. 1
861. 1
862. /:
863. /:
864. /:
Найти
865. 1
866. 1
2ж2 + 4ж-5; 2
У У
У
У
У = 6-і
5 2ж3
+
ж + 2
1O-
xo
ж H—
5ж5 '
У У У
У =
У =
№
1 1
2ж2 Зж3' ж — sin ж;
ж2 cos ж; cos ж
1 - 4ж' cos;
1 — sin ;
9І_.
2 '
ж3
" У"
- г,.1
bx + с
1 1
у = Зж — 6
1
8 6 X — tg ж.
52 + Г
у = Ж Ct^
ж2
У = У =
?>(ж
+ 1 а(? — sin t).
+ ж; вычислить /'(0), /'(I), /'(-I).
1
2ж2 (V^-I)2
; вычислить /'(2) - /'(-2). ; вычислить 0,01 • /'(0,01).
производные функций: у=(а-6ж2)3; 2)у=(1+^)2-1 1 3 2
У
10ж5 4ж4'
2) У
110 Гл.6. Производная и дифференциал
