Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Минорский В.П. -> "Аналитическая геометрия на плоскости" -> 32

Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.

Минорский В.П. Аналитическая геометрия на плоскости — М.: МГТУ, 1997. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 100 >> Следующая

811. Капля воды испаряется так, что ее радиус стремится к нулю. Определить порядки бесконечно малых поверхности и объема капли относительно ее радиуса.
812. Определить порядки бесконечно малых:
1) л/1 + ж2 - 1; 2) sin 2ж - 2 sin ж; 3) 1 - 2 cos ^ ж -\--^
относительно бесконечно малой ж.
813. Доказать, что при ж —> 0: 1) arctgraa: Ki тх;
2) л/1 + ж - 1 Ki -ж; 3) 1 - cos3 ж Ki 1, 5 sin2 ж.
§ 8. Непрерывность функции
1°. Определение. Функция /(ж) называется непрерывной при ж = а, если она определена в некоторой окрестности а и
Hm f(x) = f(a).
х—
Это определение содержит такие четыре условия непрерывности:
1) f(x) должна быть определена в некоторой окрестности а;
2) должны существовать конечные пределы Hm f(x) и Hm f(x);
х—їа — 0 х—>а + 0
3) эти пределы (слева и справа) должны быть одинаковыми;
4) эти пределы должны быть равны /(а).
8. Непрерывность функции
103
Функция называется непрерывной на отрезке [х\, х2], если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его границах Hm f(x) =
= f(xi) и Hm f(x) = f(x2).
X—— U
Элементарные функции: степенная хп, показательная ах, логарифмическая, тригонометрические и им обратные, а также их сумма, произведение, частное непрерывны при всяком х, при котором они имеют определенное значение.
2°. Разрывы функции. Функция имеет разрыв при х = а, если она определена слева и справа от а, но в точке а не соблюдено хотя бы одно из условий непрерывности. Различают два основных вида разрыва.
1) Разрыв I рода — когда существуют конечные пределы Hm f(x)
X^rCL-Q
и Hm f(x), т. е. когда выполнено второе условие непрерывности и не
х—>а + 0
выполнены остальные (или хотя бы одно из них).
X — а
Например, функция у =---, равная —1 при х < а и +1 при
\х — а\
X У а, имеет при х = а разрыв I рода (рис. 24), так как существуют пределы Hm у = —1 и Hm у = +1, но эти пределы не равны.
х—їа — 0 х—>а + 0
2) Разрыв II рода — когда Hm f(x) слева или справа равен ±оо.
Например, функция у = f(x)
(рис. 25) имеет при X
разрыв II рода. Все дробные функции, знаменатель которых при х
У
1
7
"2Г
равен 0, а числитель не рарен 0, имеют при х Функция f(x)
ґчціія J[X}+-- L ' ^бадача oiy, pj7
П рачртиттГи р^тга тот? тгЛ \ПП J[
814. Указать точку разрыва функции у -Hm у, Hm у и построить кривую по точкам
ж-»2+0 ж-»±схэ

apei
21/,:с (задача 819, рис. 38 на с. 27й) такжЧ им^ет при
, наитщ IHm у, 2' 1^2-0у'
-2, 0, 1, 3, 4 и 6.
104
Гл.5. Введение в анализ
815. Найти точки разрыва и построить графики функций:
6 4
1) У = --; 2) у = tgx; 3) у
816. Построить график функции
{ж/2 при X фї, 0 при ж = 2
и указать точку ее разрыва. Какие из четырех условий непрерывности в этой точке выполнены и какие не выполнены?
ж + 1
817. Построить графики функций: 1) у =--г и 2) у =
\х + 1|
ж + 1
= ж +--г. Какие из условий непрерывности в точках разрыва
\х + 1|
этих функций выполнены и какие не выполнены?
818. Построить график функции
sin ж , „
У = т-[~ приж/0,
при ж = 0
и указать точку ее разрыва. Какие из условий непрерывности в ней выполнены и какие нет?
819. Указать точку разрыва функции у = 2llx, найти Hm у,
х^-0
Hm у, Hm у и построить график функции. Какие условия не-
х—>+0 х—>±оо
прерывности в точке разрыва не выполнены?
820. Построить график функции
' 0, 5ж2 при |ж| < 2, у = /(ж) = < 2, 5 при |ж| = 2, ^ 3 при |ж| > 2
и указать точки ее разрыва.
821. Найти точки разрыва и построить графики функций
Iy= , о1/_; 2)y = arctg-; Зр---.
1 + 2llx ж — a 2\х — 1|
822. Сколько однозначных функций задано уравнением ж2 — — у2 = 0? Определить из них: 1) четную функцию; 2) нечетную функцию так, чтобы они имели конечные разрывы (I рода) при ж = ±1, ±2, ±3, ..., и построить их графики.
9. Асимптоты
105
823. Указать точку разрыва функции у =-, найти Hm у,
Ж + 2 ж-)-2-0
Hm у, Hm у и построить график по точкам х = — 6, —4, —3,
х-ї — 2+O ж-)±схэ
-1,0, 2.
824. Построить график функции
{2 при ж = 0 и ж = ±2,
4 - ж2 при 0 < |ж| < 2, 4 при |ж| > 2
и указать точки разрыва. Какие условия непрерывности выполнены в точках разрыва и какие нет?
825. Найти точки разрыва и построить графики функций:
1)у = 2-М; 2)2/ = 21/^"2); 3)^=1-21/-
826. Сколько однозначных функций задано уравнением ж2 + + у2 = 4? Определить из них: 1) две непрерывные на отрезке |ж| ^ 2; 2) ту из них, которая отрицательна на отрезке |ж| ^ ^ 1 и положительна для всех остальных допустимых значений ж. Построить график и указать разрывы последней функции.
§ 9. Асимптоты
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при ее удалении по кривой в бесконечность.
I. Если Hm f(x) = ±оо, то прямая х = а есть асимптота кривой
х —)а
у = fix). Например, кривая у = - имеет асимптоту х = а (рис. 25).
X — а
II. Если в правой части уравнения кривой у = f(x) можно выделить
линейную часть у = f(x) = кх + Ь + а(х) так, что оставшаяся часть
а(х) —У 0, когда х —ї ±оо, то прямая у = кх + Ь есть асимптота кривой.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed