Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Если угол а выражен в радианах, то
sin а а
Hm - = 1; Hm
а-?0 а а-м) gm а
5. Неопределенности вида со — со и О • оо
99
Найти пределы:
sin 4ж , sin (ж/3) 763. Hm -. 764. Hm -^-Л
27-)0 Ж 27-)0 ж
Указание. В задаче 763 умножить числитель и знаменатель на 4 (или положить Ax = а).
teж , sin2 (ж/2) , 1 —сов2ж 765. Hm —. 766. Hm-VA^ • 767. Hm---.
х-*о ж ж-»о ж^ ж-»о ж sm ж
sin Зж , sin (ж + /г) — sin (ж — h) 768. Hm , --=. 769. Hm -v ' ,-^-'-.
^ж + 2 - V2 h-,o h
ч arete; ж . ,. arcsin (1 — 2ж) 770. 1 Hm -=-; 2 Hm v '
27-)0 Ж ' а;-»-1/2 4ж2 — 1
Указание. Положить в примере 1) arctg х = а, а в примере 2) arcsin (1 — 2х) = а.
1 — cos ж tg ж — sin ж 771. Hm ---. 772. Hm —---.
27-)0 Xі 27-)0 Xі
Найти пределы: 773. Hm
775. Hm
27-)-0
о sin Зж
\J\ — cos 2а
777. Hm
27-)0
779. Hm
27-)2
1 — cos mx
774. Hm
sin 4ж
776. Hm
о x/x + 1 - l'
2ж sin ж
27-)0 sec:
1
1 — cos 2ж + tff25 778. Hm -2-Е-
27-)0
sm
+ 2-l/(,7-2)2
780. 1) Hm
781. Hm
ж2 - 4 cos (ж + h) — cos (ж — h)
h
X sm ж положить
2) Hm
27-)--2
= 2 +a).
arcsin (ж + 2) ж2 + 2ж
sin
0 УГТ"
¦ sm ж — cos ;
§ 5. Неопределенности вида оо — оо и 0 • оо
Найти пределы:
/1 2 4
782. Hm (Уж^+Зж-ж). 783. Hm-----
27-) + 00 27-)1 V Ж — 1 Xі — 1
100
Гл.5. Введение в анализ
784. Hm (\/х2 + ж + 1 - л/ж2"
х—) + оо
785. Hm
27-)2
1
12
786. Hm
-2 ж3 - 8 1 1
787. Hm
п—)оо
^->о\ч8Іп2ж 4зіп2(ж/2) 1 + 3 + ... + (2га - 1
га + 3
788. Hm (1 — x)tg —х (положить ж = 1 — а), х—>i 2
789. Hm (Va;2 + 1 - Vx2 - Ах).
X—У — OO
і 1 4
790. Hm I-- + -^—
-)--2 V ж + 2
Найти пределы:
ж2 — а2)
791. Hm (ж - Va;2 - ж + 1). 792. Hm (ж - V
27-)--(-00 X—) + 00
/ sin Ж „
793. Hm----tg2a
X^tTT/2 \СО&г X
^ПЛ ,. /1 + 2 + 3+ ... + га га
794. Hm---
п.-)«э у га + 2 2
/ 7Г\ 7Г
795. Hm 1--Jtga; (положить ж = —\- а).
27-)тг/2 v 2 / 2
§ 6. Смешанные примеры на вычисление пределов
Найти пределы:
N , \JX + 4 — 2 . , 1 + ж sin ж — cos 2а 796. 1 Hm -^—1-; 2 Hm
с-)о sin 5ж 27-)0 sin
4/х - 1
797. 1) Hm -Ь=-; 2) Hm
2 ,
27^1 Va7 - 1 7 27^o Vl + 2ж - 1
798. Hm (у'х2 + ах — \J х2 — ах).
27—) —OO
7. Сравнение бесконечно малых
101
. 1 - 2а 799. 1) hm -
27^00 V 3/1 _|_ 8гг3
+ 2"ж ; 2) Hm
SlIl ;
-»оо 1 — 5а
800. 1) Hm
+ 1
801. 1) Hm
і sin (X + 1) 1 — COS X
2) Hm
+
802. 1) Hm
803. 1) Hm
х—Yog
804. 1) Hm
27^0 X (Vl + Ж - 1)
sin (1 — ж)
2) Hm
27—)7Г
-)-2 а;2 + 2а; cos(ж/2)
1
1 - 2ж4
21/2
2) Hm
га-) + с
2) Hm
— 7Г
1 - 10*
-+ + оо 1 + 10n+1 '
3 - 10n
п—) — OO
л/1 + cos 2а
27^7г/2 + 0 д/уТ
2) Hm cos
27-)-1
2 + 10й+1'
7Г(Ж + 1)
"+1
§ 7. Сравнение бесконечно малых
П. Если Hm
27-)а а'-
1°. Определения. Пусть при ж —)> а функции а(ж) и /?(ж) являются бесконечно малыми. Тогда:
I. Если Hm — = 0, то ? называется бесконечно малой высшего
X -?а а
порядка относительно а.
^ — А (конечен и отличен от 0), то ? называется бесконечно малой п-го порядка относительно а.
III. Если Hm — = 1, то ? и а называются эквивалентными беско-
27—?а а
нечно малыми. Эквивалентность записывается так: ? к, а.
2°. Свойства эквивалентных бесконечно малых:
1) Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.
2) Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.
Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак к, мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.
805. Определить порядки бесконечно малых: 1) 1 — cos ж; 2) 1^ж — sin ж относительно бесконечно малой ж. Показать на чертеже, что при уменьшении угла ж вдвое величина 1 — cos ж уменьшается приблизительно в четыре раза, а величина 1^ж — sin ж — приблизительно в восемь раз.
102
Гл.5. Введение в анализ
806. Определить порядки бесконечно малых:
1)2зіп4ж-ж5; 2) л/sin2 ж + ж4; 3) л/1 + ж3 - 1
относительно бесконечно малой ж.
807. Определить порядок малости «стрелы» кругового сегмента относительно бесконечно малой дуги сегмента.
808. Доказать, что при ж —> 0:
1) sin тх Ki тх; 2) tg тх Ki тож; 3) л/1 + ж -1й-ї.
809. Коэффициент объемного расширения тела принимается приближенно равным утроенному коэффициенту линейного расширения. На эквивалентности каких бесконечно малых это основано?
? ?i
810. По теореме Hm — = Hm —, если a Ki a\, ? Ki ?i и один из
а «і
пределов существует, найти пределы:
sin 5ж sin ax + ж2 Зж + sin2 ж
1) Hm —-; 2) Hm---; 3) Hm —--;
ї-ю sin 2і ж-»о ЫЪх х^о sm 2ж — ж3