Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
п—> + оо
з 3
716. Найти Hm - и Hm - и пояснить таблицами.
ж-»2+0 Ж — 2 х^-2-0 Ж — 2
717. Найти Hm 211х и Hm 211х и пояснить таблицами.
ж-»0+0 ж-»0-0
718. Выяснить точный смысл «условных» записей:
1) — = 0; 2) \ = ±оо; 3) 3°° = оо; 4) 3"°° = 0; со О
5) IgO = -оо; 6) tg90° = ±оо.
719. Показать, что Hm sin ж не существует, составив последо-
х—>оо
вательности значений sin ж:
7Г 7Г
1) при ж = птт; 2) при ж = — + 27гга; 3) при ж = — — + 27гга (га = 0, 1,2, 3,4, ...).
720. Показать, что Hm sin — не существует.
ж-»0 Ж
721. Показать, что Hm ж sin — = 0 при любом способе прибли-
ж-»0 ж
жения ж к 0.
722. В круг радиуса R вписан правильный многоугольник с числом сторон га и стороной an. Описав около круга квадрат, показать, что an < є, как только га > 8R/e, т. е. an —> 0, когда га —т- оо.
723. Пусть гп — апофема правильного, вписанного в круг га-угольника. Доказать, что Hm rn = R, где R — радиус круга.
96
Гл.5. Введение в анализ
724. Вершина В треугольника ABC перемещается по прямой BE К АС, неограниченно удаляясь вправо. Как будут при этом изменяться стороны треугольника, его площадь, внутренние углы и внешний угол BCD?
725. Написать «десятичные» последовательности приближений переменных к пределам: Xn —> 4 + 0; Xn —> 4 — 0; Xn —> —1,5 + 0; хп —> —1,5 — 0.
726. Доказать, что:
1) Hm Xs = 27; 2) Hm (ж2 + 2ж) = 3.
х—УЗ х—Ь-1
,. 5ж + 2
727. Доказать, что Hm - = 2,5, показав, что разность
27-)оо 2ж
5ж + 2
--2,5 есть бесконечно малая при ж бесконечно большом.
2ж
Пояснить таблицей, полагая ж = 1, 10, 100, 1000, ...
728. Доказать, что Hm cos ж = cos а (см. задачу 709).
х—Ya
729. Написать последовательности значений переменных:
1) хп = 1+ ( -\\ ; 2) хп = (-1)" + ^r,
о\ / , -,\ ,ч 2гаsin (гатт/2) 3) хп = (-l)n(2ra+l); 4) Xn = -^1/
?
Какая из последовательностей имеет предел при га —> +со?
730. Найти: 1) Hm 21/^"1) ; 2) Hm 21/^"1);
27-»¦1-O 27-)1+0
2
3) Hm 3^2х; 4) Hm 3^2х; 5) Hm -—;
27-)77-/4-0 27-)71-/4 + 0 27-)71-/2 + 0 1 + Х
2 а 6) Hm--—; 7) Hm -.
' 27^7г/2-0 1 + 2^Х ' 27-H-OOl + O^
2 2
731. Доказать, что Hm 0,666...6 = -, составив разности--
га-)оо 4--' З 3
п знаков
- 0,6; I -0,66; ^- 0,666^6.
п знаков
732. Пусть Otn — внутренний угол правильного га-угольника. Доказать, что Hm an = тт.
п—)оо
733. На продолжении отрезка AB = а справа взята точка M на расстоянии BM = ж. Найти Hm ——.
F 27^OO BM
3. Свойства пределов
97
§ 3. Свойства пределов.
О оо
Раскрытие неопределенностей вида — и —
О оо
1°. Предел постоянной равен самой постоянной.
2°. lim(w + v) = limw + limi>, 1 ,. ,.
оо ,• > ч ' Л. ,. > если йти и Hm і> существуют.
3 . lim (UV) = йти • um v, J
u lim и
4 . lim — = —-, если йти и Hm i> существуют и Hm і> ф 0.
D Hm і>
5°. Если для всех значений х в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, X = а, функции /(ж) и (р(х) равны и одна из них имеет предел при X —У а, то и вторая имеет тот же предел.
Это свойство применяется при раскрытии неопределенностей вида О схэ X2 — а2
— и —. Например, - = X + а при любых х, кроме х = а. По свой-
O схэ X — а
X2 - а2
ству 5° Hm- = Hm (х + а) = 2а.
х—>а X — а х—>а
Найти пределы:
ж2 — 4ж + 1 . , 1 + sin 2ж 734. 1 Hm -—: 2 Hm
ж->2 2ж + 1 X^t-K I ¦I 1 — COS Ax
ж2 — 4
735. Hm - (пояснить таблицей).
ж - 2 , ж2 - 9
736. Hm —-. 737. Hm —-.
х^2 Xі - Зж + 2 х^З X — 2ж — 3
Указание. Решить задачу 736 двумя способами: 1) полагая х 2 + а; 2) разлагая знаменатель на множители.
te; ж , sin ж — cos ж
738. Hm —2—. 739. Hm
>тг sin 2ж ж-»7г/4 cos 2а
X \/QjX X
740. Hm , -. 741. Hm
д/1 + Зж - 1 х^а X - а
л/х — 1 , лУї + тж 742. Hm -^7=-. 743. Hm---
27-)-1 Л/Ж — 1 27->0 Ж
Указание. В задаче 742 положить х = t6, а в задаче 743 1
л/1 + X — л/1 — Ж
744. Hm--"-.
X ->0 Ж
745. Hm VF^-
sin 2а
98
Гл.5. Введение в анализ
2ж2 - 1 , , 5ж3 - 7
746. 1) Hm —--; 2) Hm
оо Зж2 — 4ж ' ж-»оо 1 — 2ж3
Указание. Можно решить двумя способами: 1) разделив числитель и знаменатель на ж в высшей степени; 2) положив х = \ jа.
Зж - 1 ж3 - 1 747. Hm —-. 748. Hm —--.
х^гоо Xі + 1 ж-»оо Xі + 1
V«, ¦ 6ж Зга
749. Hm --. 750. Hm
Зж + 1 га-»сю 1 — 2га
V2ra2 + 1 , 1 + 2 + 3 + ... + га
751. Hm--—. 752. Hm
2га - 1 ' п^оо V9ra4 + 1
Найти пределы:
Зж + 6 9-ж2
753. Hm -^-—. 754. Hm
х^-2Х3 + 8' х^З ^Зх - 3 '
2 ---2 _ VTT^
755. Hm ---. 756. Hm
27-)--1 Ж + 1 27-»7Г + 0 sm а
„г„ ,. 5ж2-Зж + 2 _ Зга+1
757. Hm —--—. 758. Hm
с^схэ 2ж2 + 4ж + 1 ' гг-юо д/Зи2 + 1'
, .,ж2
759. Hm
760. Hm 1 + 3 + 5+-..+ (2^-1)
n-s-oo 1 + 2 + 3+ ... + га
761. Hm 2 ,Ч •'' : •'.
х^7 ж2 - 49
sin 2ж — cos 2ж — 1
762. Hm -:-.
х^-тт/4 COS Ж — Sm ;
sin
§ 4. Предел отношения - при —у О
