Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Числовая последовательность. Пусть каждому натуральному числу п=1,2,3,...по некоторому закону поставлено в соответствие число хп. Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел Xi, Х2, xs, . . . или, короче, последовательность {хп} = = {xi, Х'2, xs, . . .}. Отдельные числа последовательности {хп} называются ее элементами. Говорят еще, что переменная Xn пробегает значение последовательности {жп}.
2°. Предел последовательности (предел переменной). Число а называется пределом последовательности {жп}, или пределом переменной Xn (обозначается Xn —У а), если для всякого є > 0 найдется зависящее от є число п0 такое, что \хп — а\ < є для всех натуральных п > по- Интервал (а — є, а + є) называется є-окрестностью числа а (или точки а). Таким образом, Xn —У а обозначает, что для всякого є > О найдется такое число п0, что для всех п > п0 числа Xn будут находиться в є-окрестности числа а.
3°. Предел функции. Пусть функция f(x) определена в некоторой є-окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а. Говорят, что число Ь является пределом функции f(x) при X —У а (пишут f(x) —У Ь при X —У а или Hm f(x) = Ь), если для любого є > 0 существует
х —
зависящее от є число S > 0 такое, что \ f(x) — Ь\ < є при 0 < \х — а\ < S.
Аналогично, Hm f(x) = Ь, если для всякого є > 0 существует зависях—
щее от є число N такое, что \f(x) — Ь\ < є при \х\ > N. Употребляется также запись Hm f(x) = со, которая обозначает, что для всякого числа
х—
А > 0 существует зависящее от А число S такое, что |/(ж)| > А при О < \х - а\ < S.
Если X —У а и при этом х < а, то пишут х —ї а — 0; аналогично, если X —У а и при этом х > а, то пишут х —У а + 0. Числа f(a — 0) = = Hm f(x) и f(a + 0) = Hm f(x) называются соответственно пре-
х^-а — О х—>а + 0
делом слева функции f(x) в точке а и пределом справа функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при х —У а необходимо и достаточно, чтобы было f(a — 0) = f(a + 0). Вместо х —У 0 — 0 и X —у 0 + 0 пишут X —у —0 и X —у +0 соответственно.
4°. Бесконечно малые. Если Hm а(х) = 0, т. е. если |а(ж)| < є
х—
при 0 < Iж — аI < S(e), то функция а(х) называется бесконечно малой при X —)> а. Аналогично определяется бесконечно малая а(х) при х —У со.
5°. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно большого числа N существует такое S(N), что при 0 < \х — а\ < S(N) выполнено равенство |/(ж)| > N, то функция f(x) называется бесконечно большой при X —)> а. Аналогично определяется бесконечно большая f(x) при X —У со.
94
Гл.5. Введение в анализ
702. Полагая га = 0, 1, 2, 3, ..., написать последовательности значений переменных:
1 1 (I
a = —, a =--, a = —
2п 2п \ 2
Начиная с какого га модуль каждой из переменной сделается и будет оставаться меньше 0,001, меньше данного положительного є?
703. Написать последовательность значений переменной ж = (-1)п
= 1-|--. Начиная с какого га модуль разности х — 1 сделается и
2га + 1
будет оставаться меньше 0,01, меньше данного положительного є?
704. Прибавляя к 3 (или вычитая из 3) сначала 1, затем 0,1, потом 0,01 и т. д., записать «десятичными» последовательностями приближения переменной к пределу: Xn —> 3 + 0, Xn —> 3 — 0.
705. Записать «десятичными» последовательностями приближения переменных к пределам: Xn —> 5 + 0, Xn —> 5 — 0, Xn —> -> - 2 + 0, хп -> - 2 - 0, хп -> 1 + 0, хп -> 1 - 0, хп -> 1, 2 + 0, хп -> 1, 2 - 0.
706. Доказать, что Hm ж2 = 4. Пояснить таблицами значений
707. Доказать, что Hm (2ж — 1) = 5. По данному числу є > 0
х—>3
найти наибольшее число 8 > 0 такое, чтобы при любом ж из ^-окрестности числа 3 значение функции у = 2х — 1 оказалось в є-окрестности числа 5. Пояснить графически.
708. Доказать, что Hm (3 — 2ж — ж2) = 4. Из какой наиболь-
X—у — 1
шей ^-окрестности числа —1 нужно взять значение ж, чтобы значение функции у = 3 — 2ж — ж2 отличалось от ее предела меньше чем на є = 0,0001?
709. Доказать, что sin а есть бесконечно малая при a —> 0.
Указание. Сделать чертеж и показать, что |sina|< \a\.
710. Доказать, что Hm sin ж = sin a.
x^ra
Указание. Положив х = a + а, составить разность sin ж — sin а и затем положить a —У 0.
Зж + 4
711. Доказать, что Hm - = 3. Пояснить таблицами зна-
Зж + 4
чений ж и - при ж = 1, 10, 100, 1000, ...
ж
4ж - 3
712. Доказать, что Hm - = 2. При каких ж значения
ж-»оо 2ж + 1
функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,001?
2. Пределы последовательности и функции
95
,. 1 - 2ж2
713. Доказать, что hm-- = —0,5. При каких ж значения
х—>оо
2 + 4ж
функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01?
714. Доказать, что Hm 0,333...3 = -, составив разности--
п-Юо 4--' З 3
п знаков
- 0,3; і - 0,33; ^ - 0,333; ...•^- 0, 333^3.
п знаков
715. Написать последовательности:
га га ( —1)пга
1) хп — . г) 2j Xn — ¦ —, 3) Xn — ¦ - , га+1 га+1 га+1
_ 8cosra(7r/2)- _ 2га+ (-!)"_
4J Xn — ¦ - , Oj Xn — ,
га + 4 га
6) Xn = 2~nacosmr. Существует ли Hm Xn в каждом примере и чему он равен?
