Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
672. По способу итераций найти вещественный корень уравнения ж3 + 2ж — 8 = 0, вычисляя последовательные приближения по формуле ж = \/8 — 2ж.
Глава 5
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Переменные величины и функции
1°. Отрезки и интервалы. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, называется интервалом и обозначается (а, Ь). Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам a <С х <С Ь, называется отрезком и обозначается [а, Ь].
Эквивалентные неравенства (при а > 0)
X2 < а2, или \х\ < а, или — а < ж < а
определяют интервал, симметричный относительно нуля.
2°. Переменные величины и функции. Если каждому значению переменной X поставлено в соответствие одно число, то переменная у, определяемая совокупностью этих чисел, называется однозначной функцией х. Переменная х называется при этом аргументом, а данная совокупность значений аргумента — областью определения функции.
То, что у есть функция х, символически записывают в виде у = = f(x), или у = F(x), или у = <р(х) и т. п. Символ f(x) или F(x) и т. п. обозначает закон соответствия переменных х и у, в частности, он может означать совокупность действий или операций, которые нужно выполнить над х, чтобы получить соответствующее значение у.
673. Построить области изменения переменной ж, удовлетворяющей неравенствам:
1) І ж I < 4; 2) X2 ^ 9; 3) \х - 4| < 1;
4) -1 < X - 3 «С 2; 5) X2 > 9; 6) (ж - 2)2 ^ 4.
674. Записать неравенствами и построить интервалы изменения переменных: [—1, 3]; (0, 4); [—2, 1].
675. Определить область изменения переменной х = 1 — —, где
t принимает любое значение ^ 1.
В задачах 676-678 построить по точкам на отрезке \х\ ^ 3 графики указанных функций:
676. 1)у = 2х; 2)у = 2ж + 2; 3) у = 2х - 2. 677.1) у = ж2; 2)у = ж2 + 1; 3) у = ж2 - 1.
678. 1) у =^; 2)у=^ + 1; 3) у = ^ - 1.
1. Переменные величины и функции
91
6
679. Построить графики функций: 1) у = —; 2) у = 2х; 3) у =
X
= log22;. Какую особенность в расположении этих кривых относительно осей координат можно заметить?
680. Построить на одном чертеже графики функций: 1) у = = sin ж; 2) у = cos ж по точкам, в которых у имеет наибольшее, наименьшее и нулевое значения. Сложением ординат этих кривых построить на том же чертеже график функции у = sin х + cos ж.
681. Найти корни х\ и ж2 функции у = Ax — ж2 и построить ее график на отрезке [х\ — 1, ж2 + 1].
682. Построить графики функций:
1) у = |ж|; 2) у = —|ж — 2|; 3) у = \х\ — ж.
В задачах 683-686 найти области определения вещественных значений функций и построить их графики.
683. I) у = л/ж + 2; 2) у = л/9 - ж2; 3) у = VAx - ж2.
1
684. 1) у = л/—X + л/4 + ж; 2) у = aresin (2±
685. 1) у = ^7^; 2)у = ±жл/4"
:л/їб"
686. 1) у = -л/2 sin ж; 2) у -
687. 1) f{x) = ж2 - ж + 1; вычислить /(0), /(1), /(-1), /(2), 2ж - 3 , ч /Зч
/(а + 1); 2) <уэ(ж) = + 1; вычислить <уэ(0), V^"1), ¦ 2
1\ 1
688. ^(ж) = ж2; вычислить:
F(ft)-F(a). 2)F/a + /A р (а ~ ^
Ь-а ' ' \ 2 У V 2
? ч /(^) — /(а)
689. fix) = ж , со(ж) = ж , вычислить ——--—.
' ' <р(Ь)-<р(а)
690. F{x, у) = ж3 - Зжу - у2; вычислить F(4, 3) и F(S, А).
691. Функция /(ж) называется четной, если /( — ж) = /(ж); нечетной, если /( — ж) = —/(ж). Указать, какие из следующих функций четные и какие нечетные:
, „ , , SIlT X , , , Gi 1 , ____, , 1
1) / ж = -; 2 <р(х) = --; 3 F ж = ах + —;
7 v 7 ж 7 v ' ах + 1 ' ' ах
А) Ф(ж) = ах--; 5) Ф(ж) = ж sin2 ж - ж3; 6) /і (ж) = ж + ж2.
92
Гл.5. Введение в анализ
692. Середина любой хорды графика некоторой функции /(ж) лежит выше графика этой функции. Записать это свойство функции неравенством. Проверить, что этим свойством обладает функция /(ж) = X2.
693. Какая из элементарных функций обладает свойствами /(1) = 0, Да) = 1, f(xy) = f(x) + f(y)l
694. Какая из элементарных функций обладает свойствами /(0) = 1,/(1) = a, f(x + y) = f(x)f(y)l
695. Построить области изменения переменной ж, удовлетворяющей неравенствам:
1) |ж| < 3; 2) ж2 ^ 4; 3) |ж - 2| < 2; 4) (ж - I)2 ^ 4.
696. Определить область изменения переменной ж = 2 + -, где
t принимает любое значение ^ 1.
697. Построить графики функций:
1) у = 4--— на отрезке |ж| ^ 2;
2) у = 3, 5 + Зж —— между точками пересечения с осью абсцисс.
698. Построить графики функций:
1) у = ж — 4 + |ж — 2| на отрезке [—2, 5];
2) у = 1 — cos ж на отрезке |ж| ^ 2тг.
699. Построить графики функций:
1) у= --; 2) у = 2-.
ж
700. Найти области определения вещественных значений функций:
1) у = у/А- ж2; 2) у = + 1 - л/3~
4
3) у = 1 - V2 соз2ж; 4) у
1+ л/а
и построить их графики.
701. 1) Для функции /(-1/2),/(ж-1),/(1/2);
2ж + 1
701. 1) Для функции /(ж) = 2 ^ вычислить /(0), /( — 2)
з <,о(ж + К) — Lp(x — К)
2) для функции ц>(х) = X вычислить ,
3) для функции /(ж) = 4ж — ж2 вычислить /(а + 1) — /(а — 1)
2. Пределы последовательности и функции
93
§ 2. Пределы последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие
