Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ЗУ 2у
1, 2.
- пу = у = п
т — п) , (при т ф 2га).
Решить системы уравнений:
(2х - Зу+ z -2 = 0, 615. < X + Ъу - Az + 5 = 0, \ Ax+ у - 3z + А = 0.
617.
2х - Ъу + 2z X + Ay — 3z
616.
618.
- Ay + 3z -2y + Az
- y + bz
+ 2y- z
- V + 'iz + 3y-Az
1, 3, 2.
0, 0,
0,
3. Комплексные числа
83
Г3ж + 2у- Z = О, Г x + 2y + 3z = 4,
619. <^ 2х - у + 3z = 0, 620. <^ 2х + Ay + Qz = 3, [X+ у— z = 0. [Зх + у — z=l.
Г x + 2y + 3z = 4, Г x + 2y + 3z= 4,
621. < 2х + у - z = 3, 622. < 2х + у - Z= 3, [3x + 3y + 2z = 7. [Зж + Зу+2,2= 10.
623. Пересекаются ли в одной точке прямые:
1) 2х — Зу = 6, Зх + у = 9, X + Ay = 3;
2) 2х - Зу = 6, X + 2у = 4, X - Ъу = 5? Выполнить в обоих случаях построение.
Решить системы линейных уравнений:
(2х- у + Z= 2, 624. I Зх+ 2у+ 2z =-2, 625. ( X — 2у + z = 1.
кок (3x + 2y + 2z = 0, -
626- \5Ж + 2у + 3^ = 0. 627-
(2х- у+ 3z = 0, 628. <^ X + 2у - 5z = 0, 629. { Зх + у - 2z = 0.
X + 2у- 3z = 5
2х — у - Z = 1
X + Зу + 4z = 6
Зх — У + 2z = 0
2х + Зу- 5z = 0
X + У + Z = 0
X — 2у + Z = = 4
2х + Зу- Z = = 3
4х - У + Z = = 11
§ 3. Комплексные числа
1°. Определения. Комплексным числом называется выражение вида X + уі, в котором х и у — вещественные числа, а г — некоторый символ, если при этом приняты условия:
1) X + Oi = х, 0 + уі = уі и Ii = і, (—1)г = —г;
2) X + уі = х\+ у\і тогда и только тогда, когда х = х\ и у = у\,
3) (х + yi) + (xi + i/iг) = (х + Xi) + (у + yi)i;
4) (х + IJi)(X1 + i/i г) = (XX1 - г/г/1) + (Xy1 + хху)і. Из условий 1) и 4) получаются степени числа г:
г'2 = -1, г'3 = -г, г'4 = 1, г'5 = і и т. д. (1)
Комплексное число X + уі, в котором у ф 0, называется мнимым числом. Число і называется мнимой единицей.
2°. Действия над комплексными числами. Сложение, вычитание, умножение и возведение в степень комплексных чисел можно выполнять по правилам этих действий над многочленами с заменой степеней числа і по формулам (1).
Деление комплексных чисел и извлечение корня из комплексного числа определяются как действия обратные.
84
Гл.4. Высшая алгебра
3°. Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число x + yi определяется парой вещественных чисел (х, у) и поэтому изображается точкой М(х; у) плоскости или ее радиус-вектором г = OAi (см. рис. 12). Длина этого вектора г = \] х2 + у2 называется модулем комплексного числа, а угол его Lp с осью Ox называется аргументом комплексного числа. Так как х = г cos <р, у = г sin у, то
X + уг = г (cos Lp + г sin Lp). (2)
4°. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
r(cos Lp + г sin у)7*i (cos Lpi + г sin Lpi) =
= (rri) [cos (<?> + <?>!) + г sin (ip + Ip1)], (3)
r(cOS Lp + І Sm Lp) Г г . . і
—-—-Г = [COS [Lp Lpi) -)- / Sin [Lp ^l)J : 4
г і (cos Lpi + г sin 1,CiJ r і
[r (COS Lp + І sin Lp)] " = ГП (COS ULp + І sin ULp) , (5)
n/—(-—г---v пГ ( Р + 2ктт Lp + 2kTr\
\Jr(cos Lp + г sin Lp) = у r cos--1" 1 sm- ; (о)
\ n n J
где к = 0, 1, 2, . . ., n — 1.
Формулы (5) и (6) называются формулами Муавра. 5°. Формула Эйлера:
е1 у = cos Lp + г sin Lp. (7)
6°. Логарифм комплексного числа:
In z = In г + г у о + 2ктті, (8)
где (^o — значение аргумента у, удовлетворяющее неравенствам — тт < < <?> <С тт. Выражение In г + itpo называется главным значением логарифма.
630. Выполнить действия: 1) (2 + Зг)(3 — 2г); 2) (а + Ы)(а — Ы); 3) (3-2г)2; 4) (! + і)3; 5)±±І; 6)
631. Решить уравнения: 1) ж2 + 25 = 0; 2) ж2 - 2ж + 5 = 0; 3) ж2 + 4ж + 13 = 0 и проверить подстановкой корней в уравнение.
Следующие комплексные числа изобразить векторами, определить их модули и аргументы и записать в тригонометрической форме:
632. 1) z = 3; 2) Z= -2; 3) z = Зі; 4) z = -2г.
633. 1) z = 2 - 2г; 2) z = 1 + г'^З; 3) z = -л/3 - г.
3. Комплексные числа
85
634. 1) -л/2 + і\Д; 2) sin a + i(l - cos а).
635. Числа, данные в задачах 632-634, записать в форме revt
(при —7Г < Cf ^ 71").
636. Построить области точек z по условиям: 1) |z| < 3; 2) |z| < 2 и 7г/2 < < 7г;
3) 2 < |гг| < 4 и —7Г < <^ < —7г/2.
637. Показать, что |zi — есть расстояние между точками
Z1 и Z2.
638. Дана точка 2? = —2 + Зг. Построить область точек z, для
которых \z — Zq | < 1.
639. Число, сопряженное с z, обозначается через ~z. Доказать, что Z ¦ z = \z\2.
640. Вычислить по формуле Муавра:
1) (1 + г)10; 2) (1-гл/З)6; 3) (-1 + г)5;
4) (і+ cos ^ +і sin ; 5) (уД + if.
641. Выразить sin За и cos За через функции угла а, используя тождество (cos а + і sin а)3 = cos За + г sin За.
642. Найти все значения z = \/ї и изобразить их радиус-векторами, построив круг радиуса, равного 1.
643. Найти: 1) л/1; 2) лД; 3) ^1; 4) ^У-2 + 2г.
644. Найти: 1) у/1; 2) \У-1 + г; 3) у/-8 + 8ІуД.
645. Решить двучленные уравнения: 1) ж3+8 = 0; 2) ж4+4 = 0.
646. Найти главное значение логарифма: 1) In ( — 2); 2) In (1 + г); 3) In г; 4) In (ж + г/г); 5) In (2 - 2г).
647. Найти сумму sin ж + sin 2ж + sin Зж + ... + sin пх.
^Xl _ g Xl
Указание. По формуле Эйлера заменить sin ж = -—- и т. д.
