Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Свойства определителей:
I. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
П. Величина определителя от перестановки двух любых параллельных его рядов меняет знак на обратный.
Из свойств I и II следует, что определитель можно разложить по элементам любого ряда, так как этот ряд можно сделать первой строкой.
III. Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю.
IV. Общий множитель элементов одного ряда можно вынести за знак определителя.
V. Величина определителя не изменится, если к элементам одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на произвольное одинаковое число. Например:
я1 bi Cl яі - - UlCl bi- - псі Cl
а2 ь2 C2 = а2 - - тс2 ь2 - - пс2 C2
аз Ьз сз а3 - Y тс3 Ьз - Ь псз сз
1. Определители
79
С помощью этого свойства можно в любом ряду определителя третьего порядка сделать два нуля, чем упростится разложение определителя по элементам этого ряда.
3°. Площадь треугольника с вершинами A(X1; уі), B(X2', у2), С(х3; уз):
1 X1 ух 1
S = ±- х2 у2 1 . (3)
2 X3 уз 1
Вычислить определители:
586.
589.
591.
sin2 а
587.
2 6
590.
3 -10
sm а cos а
588.
cos а sin а
cos а sin2 ? cos2 ?
Вычислить определители, разложив их по элементам первого столбца:
2 3 4 а 1 а
592. 5 -2 1 593. -1 а 1
1 2 3 а -1 а
Вычислить определители, разложив их по элементам того ряда, который содержит наибольшее число нулей:
594.
1 Ъ
о ь ъ о
595.
0
1
1
¦1
Упростить и вычислить определители:
а — а а 1 2 5
596. а а — а 597. 3 -4 7
а — а — а -3 12 -15
598.
600.
12 6 3
1 + cos а 1 — sin а 1
599.
1 + sin а 1 + cos а 1
2 cos'
а
sin а 1
601.
2 cos
2/3
sin ? 0
80
Гл.4. Высшая алгебра
602. Найти площадь треугольника с вершинами
А(2; 3), B(A; -1) и С (6; 5).
603. Лежат ли на одной прямой точки
A(I; 3), В(2; 4) и С(3; 5)?
604. Написать с помощью определителя третьего порядка уравнение прямой, проходящей через точки:
1) (X1; У1) и (х2; у2); 2) (2; 3) и (-1; 5).
Упростить и вычислить определители:
2 -3 1 605. 6 -6 2| . 606.
2-12
т-\- a т — a a га + а 2га — a a a — a a
607.
ax ay az
a2 + X2 a2 + y2 a2 + z2
608.
sin 3a sin 2a sin a
cos 3a cos 2a cos a
Указание. В задаче 607 вынести a за знак определителя, затем из первой и второй строк вычесть третью и вынести (х — z) и (у — z) за знак определителя.
609. Доказать, что
Xi + X2 У1 + У2
2 2
Xi — X2 2/1 - У2
2 2
Xi 2/1
2/1
2/2
610. Найти ;
ж2 4 9 ж 2 3 1 1 1
1
из уравнении: 2
0;
0
и проверить подстановкой корней в определитель.
§ 2. Системы линейных уравнений
1°.Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
CLiX + Ьіу = Cl,
a2x + b2y = C2
(1)
2. Системы линейных уравнений
81
имеет решение
Cl &1 C2 Ь2
U1 C1
a2 C2
U1 hi a2 Ь2
U1 hi Cl2 O2
(2)
a2 Ъ2
при условии, что определитель системы А
2°. Система двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными
сі\х + Ь\у + ciz = О, a2x + b2y + c2z = О
имеет решения, определяемые формулами
&1 Cl
Ь2 C2
У
ClI Cl Cl'2 C2
сії Ьі
Cl2 O2
(3)
(4)
где к — произвольное число.
3°. Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными
aix + &1 у + CiZ = О, Ci2X + Ь2у + C2Z = О, азх + Ь3у + C3Z = О
имеет отличные от 0 решения, если определитель системы
(5)
А
ai bi Ci а2 Ъ2 с2 а3 b3 C3
и обратно.
4°.Система трех линейных уравнений с двумя неизвестными
aix + biy = сі, ci2x + b2y = с2, а3х + b3y = C3
(6)
совместна, когда А = ai bi Cl
Cl2 b2 C2
аз Ьз сз
О и система не содержит попарно
противоречивых уравнении.
5°. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
aix + biy + ciz = di, ci2x + b2y + C2Z = d2, азх + Ъзу + C3Z = d3
(7)
82
Гл.4. Высшая алгебра
при условии, что определитель системы
А
U1
0.2
аз
h
Ь2 Ьз
имеет следующее единственное решение:
А
А
A1 А
(8)
где
di bi Cl U1 di Cl Ol bi di
Ax = d2 ь2 > АУ = 0.2 d2 С2 02 ь2 d2
d3 Ьз сз 03 d3 сз 03 Ьз d3
6°. Несовместные и неопределенные системы. Обозначим левые части уравнений (7) через Xi, Х2 и Х3. Пусть определитель системы (7) A = O. При этом возможны два предположения.
I. Элементы двух строк определителя А пропорциональны, например
02 &2 с2
— = — = — = т. Тогда Х2 = тХі и:
Ui Oi Ci
1) если с?2 ф тс противоречивы);
2) если с?2 = radi, то система неопреоеленна [еслш первое и третье уравнения не противоречивы).
П. В определителе А нет строк с пропорциональными элементами Тогда существуют отличные от 0 числа тип такие, при которых тХ\ -+ + пХ2 = X3, и:
1) если mdi + ггс?2 ф d3, то система несовместна;
2) если mdi + nc?2 = с?з, то система неопределенна.
Числа тип можно подобрать или же найти их из уравнений aim 4 + a2n = аз, bim + b2n = 63, схт + c2n = с3.
Решить с помощью определителей системы уравнений:
і, то система несовместна (^первые два уравнения і, то система неопределенна
611.
613.
Г3ж + 2у X Ax — 5у
Ъх + 2у Ix + Ay
7, 40.
4, 8.
612.
614.
ах -ах -
тх 2х -
