Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды
1°. Канонические уравнения. Кроме цилиндрических, существуют шесть основных видов поверхностей второго порядка, определяемых следующими каноническими (простейшими) уравнениями:
2 2 2
T Х У Z Л
I. Эллипсоид: —- + — H—- = 1.
er bz cz
П. Гиперболоиды:
2 2 2
X I/ Z
—т + тт--т = 1 — однополостный,
1 Ъ с
2 2 2 XVZ
—2+72"--2=—1 - ДВуПОЛОСТНЫЙ.
a1 Y с
iL _ 1
б2 с:
б2 с:
- + 2-
р q
2
III. Конус второго порядка: — + —--- = 0.
2 2
1 — 2z — эллиптический,
IV. Параболоиды (прирд > 0): ?
X V
--— = 2z — гиперболический.
р q
2°. Прямолинейные образующие. Через каждую точку од-нополостного гиперболоида проходят две его прямолинейные образующие:
7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды 75
Через каждую точку гиперболического параболоида тоже проходят две его прямолинейные образующие (при р > 0 и q > 0):
¦"7F + T? =ад
п I X У
\/р \/q J
Sl Л___SL
\/р \/q
27.
3°. Круговые сечения. На всех поверхностях, имеющих эллиптические сечения, имеются также и круговые сечения. Наибольшие
круговые сечения эллипсоида ходятся на сфере х2 + у2 + z2
параболоида
У_ б2
— = 1 (при а > Ъ > с) на-О" сА
Ь2. Круговые сечения эллиптического 2z, проходящие через вершину, находятся на
сфере X2 + у2 + z2 = 2pz (при р > q)
566. Написать уравнение поверхности, образованной враще-
нием эллипса
а2 с2
X2 у2 Z2
567. Построить поверхность--1---1-- Р Р 9 4 25
1, у = 0 вокруг оси Oz.
1 и найти площади
ее сечений плоскостями: 1) z = 3; 2) у = 1.
568. Написать уравнение поверхности, образованной враще-
2
1, у = 0: 1) вокруг
Ж2 /и
нием кривой —---
а2 с2
оси Oz; 2) вокруг оси Ож. Построить обе поверхности (в левой системе координат).
569. Построить поверхности:
1) X2 + у2 - z2 = 4;
2) X2 - у2 + z2 + 4 = 0.
тт я2 У2
570. Построить гиперболоид -—\- —--
•v2
36
1 и найти его образующие, прохо-
дящие через точку (4; 1; —3).
571. Нитяная модель цилиндра «закручена» поворотом верхнего круга на а° (рис. 22). Определить уравнение полученной «линейчатой» поверхности, если ок-
Рис. 22
76
Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве
ружности ее оснований лежат в плоскостях z = ±с, их центры — на оси Oz, а их радиусы равны 2а. Рассмотреть частные случаи при a = 90°, 120°, 180°.
Указание. Точка М(х; у; z) делит расстояние между точками A(2acost; 2a sint; —с), B(2a cos (t + a); 2a sin (t + a); c) в отношении AM : MB = (c + z) : (c — z).
572. Написать уравнение поверхности, образованной вращением параболы az = ж2, у = 0 вокруг оси Oz. Построить поверхность по сечениям плоскостями: z = а, ж = 0, у = 0.
573. Построить поверхности:
574. Построить (в левой системе координат) поверхность ж2 — — у2 = Az и найти ее образующие, проходящие через точку (3; 1; 2).
575. Написать уравнение геометрического места точек, отношение расстояний от каждой из которых до плоскости ж = 2а к расстояниям до точки F(а; 0; 0) равно у/2. Построить поверхность.
576. Написать уравнение геометрического места точек, отношение расстояний от каждой из которых до точки F(O; 0; 2а) и до
плоскости z = а равно у/2. Построить поверхность.
577. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F( — a; 0; 0) и от плоскости ж = а. Построить поверхность.
ж2
578. Найти наибольшие круговые сечения эллипсоида +
у2 Z2 + — + — = 1. 25 9
579. Определить круговые сечения эллиптического параболоида
ж2 у2
--1--= z, проходящие через начало координат.
25 9
580. Назвать и построить каждую из поверхностей:
X2 + у2 + z2 = 2az; 6) ж2 = 2az;
2), X2 + у2 = 2az; 7) ж2 = 2yz;
3), X2 + Z2 = 2az; 8) Z - = 2 +X 2 + y2;
4). X2 - у2 = 2az; 9) (* -a)2-- = Xy1
5), X2 - у2 = z2; 10) (* - 2x)2 + A(z-
7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды 77
581. Написать уравнения прямолинейных образующих гиперболоида х2 — у2 + z2 = 4, проходящих через точку (2; 4; 4).
582. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(O; 0; а/2) и от плоскости z = —а/2. Построить поверхность.
583. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(O; 0; а/2) и от плоскости z = За/2. Построить поверхность.
584. Найти наименьшие круговые сечения гиперболоида
X2 у2 3z2 25 + ~9~ ~ ~2Ъ ~
585. Написать уравнения прямолинейных образующих гипер-
X2 у2
болического параболоида---= 2z, проходящих через точку
16 9
(4; 3; 0).
Глава 4
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Определители
1°. Определители. Определителем второго порядка называ-
а2 Ь2
ется число
эозначаемое символом
и определяемое равенством
я1 &1
а2 Ь2
ахЬ2 - a2bi.
Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое
символом
я1 h Cl
ъ2 C2
аз Ьз сз
я1 h Cl
а2 ъ2 C2
аз Ьз сз
и определяемое равенством
яі
ь2 C2 а2 C2 + Cl а2 Ь2
Ьз сз - Oi аз сз а3 Ьз
(2)
Определители второго порядка, входящие в правую часть равенства (2), получаются из данного определителя третьего порядка вычеркиванием одной строки и одного столбца и называются его минорами. Формула (2) называется формулой разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки.
