Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
543. Нарисовать в первом октанте левой системы координат кривую Вивиани:
ж2 + у2 + z2 = 16, ж2 + у2=4ж,
построив ее точки при ж = 0; 2 и 4. Показать, что проекция кривой на плоскость xOz есть парабола.
544. Найти центр и радиус окружности
ж2 + у2 + z2 = Wy1 x + 2y + 2z- 19 = 0.
Указание. Центр окружности есть проекция центра шара на плоскость (см. задачу 530).
545. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей у2 = Ах, 2 = 0ис образующей, параллельной вектору Р{1; 2; 3}.
546. Построить в первом октанте поверхность (х-\-у)2-\-az = а2 по сечениям плоскостями ж = 0, у = 0, z = 0, z = h а я показать, что эта поверхность цилиндрическая с образующими, параллельными прямой ж + у = a, z = 0.
72
Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве
547. Шар ж2 + у2 + z2 = Az освещен лучами, параллельными прямой ж = О, у = z. Найти форму тени шара на плоскости хОу.
Указание. Нужно написать уравнение цилиндрической поверхности, образованной лучами, касательными к шару. За ее направляющую принять линию сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара и перпендикулярной к лучам.
548. Написать уравнение плоскости, проходящей через центр С поверхности X2 + у2 + z2 — 2х + у — 3z = 0 и перпендикулярной к прямой ОС.
549. Написать уравнение геометрического места точек, удаленных вдвое дальше от начала координат, чем от точки (0; —3; 0).
550. Найти проекцию на плоскость z = 0 сечения шаровой поверхности X2 + у2 + z2 = 4(ж — Iy — Iz) плоскостью, проходящей через центр шара и перпендикулярной к прямой х = 0, у + z = 0.
551. В левой системе координат построить поверхности:
1) z = 4 - ж2; 2) у2 + z2 = Az; 3) у2 = ж3.
552. Построить в первом октанте левой системы координат кривую пересечения цилиндров ж2 + z2 = а2 и ж2 + у2 = а2.
Указание. Построив в плоскостях xOz и хОу четверти направляющих окружностей, разделить их приближенно на равные части (например, на 4) и через точки деления пронести образующие цилиндров до их пересечения (см. рис. 60, с. 320).
553. Написать уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной вектору Р{1; 1; 1}, и с направляющей ж2 + + у2 = 4ж, z = 0.
554. Построить тело, ограниченное поверхностями у2 = ж, z = 0, z = А, X = 4, и написать уравнения диагоналей грани, лежащей в плоскости ж = 4.
§ 6. Конические поверхности и поверхности вращения
1°. Конические поверхности. Пусть коническая поверхность имеет вершину в начале координат, а направляющую F(x, у) = 0 на
плоскости z = h. Уравнение образующей будет: — = — = —, где
х0 уо п
(жо; Уо', h) — точка направляющей. Определив отсюда Xo и уо и подставив их в уравнение F(x, у) = 0, получим уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат:
fx h yh\
(1)
; 6. Конические поверхности и поверхности вращения
73
Если вершина конуса будет в точке (а; Ь; с), то уравнение примет
вид
F
a)(h
¦a, ^-b)ih-0+b
(2)
Уравнение (1) однородно относительно х, у, z, а уравнение (2) однородно относительно X — а, у — Ъ ж z — с. По однородности уравнения можно узнать уравнение конической поверхности.
2°. Поверхности вращения:
Уравнения кривой Ось вращения Уравнение поверхности вращения
F(x, у) = 0, Ox F(x, л/У2+г2) =0
z = 0 Oy F(Vx2 + z2, у) =0
F{x, z) = 0, Ox F(x, y/y2+z2)=0
у = 0 Oz F(^x2 + у2, z)=0
F(y, z) = 0, Oy F(y, л/х2 + г2) = 0
х = 0 Oz F(\/x2 + у2, Z)=O
555. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей х2 + у2 = a2, z = с. Построить изображение поверхности.
556. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в точке A(O; —а; 0) и направляющей х2 = 2ру, z = h. Построить изображение поверхности.
557. Определить вершину конуса х2 + (у — а)2 — z2 = 0, его направляющую в плоскости z = а и построить конус.
558. Определить вершину конуса х2 = 2yz, его направляющую в плоскости z = h и построить конус.
559. Исследовать поверхность коноида1) или клина (а2 — х2)х Xy2 = K2Z2 по сечениям плоскостями z = 0, у = h, X = ±с (с ^ а) и построить коноид в области z ^ 0.
560. Написать уравнение поверхности, образованной вращением кривой z = X2, у = 0: 1) вокруг оси Oz; 2) вокруг оси Ох. Построить обе поверхности.
!) Коноидом называется поверхность, образованная движением прямой, параллельной данной плоскости и пересекающей данную кривую и данную прямую.
74
Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве
561. Написать уравнение поверхности, образованной враще-
_ 2 4
нием вокруг оси Oz: 1) кривой z = е х , у = 0; 2) кривой z = —,
у = 0. Построить обе поверхности (в левой системе координат).
562. Написать уравнение конической поверхности с вершиной О(0; 0; 0), направляющей ж2 + (у—6)2+,г2 = 25, у = 3 и нарисовать поверхность.
563. Написать уравнение конической поверхности с вершиной С(0; — а; 0), направляющей ж2 + у2 + z2 = 25, у = 3 и нарисовать поверхность.
564. Написать уравнение поверхности, образованной вращением прямой z = у, X = 0: 1) вокруг оси Oy; 2) вокруг Oz, и нарисовать обе поверхности.
565. Показать, что сечение конуса z2 = ху плоскостью ж + у = = 2а есть эллипс, и найти его полуоси.
