Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
а — а\ Ь — Ь\ с—с\ т п р
т\ п\ pi
(4)
514. Найти угол прямой у = Зж — 1, 2z = —Зж + 2с плоскостью 2ж+ у + ,г-4 = 0.
4. Прямая и плоскость
69
x + ly+lz — 3
515. Показать, что прямая -= -= - параллельна
2 1 3
ж + 1 У+1 .г + 3
плоскости 2ж + у — z = 0, а прямая -= -= - лежит
2 1 3
в этой плоскости.
516. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку ( — 1; 2; —3) и перпендикулярной к прямой ж = 2, у — z = 1.
517. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую ж — 2 у — 3 ? + 1
—j— = —^— = —^— и точку (3; 4; 0).
518. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую х-1 у+1 z+ 2
-= -= - и перпендикулярной к плоскости 2ж + 3у —
-z = A.
519. Написать уравнение плоскости, проходящей через парал-
ж — 3 у Z-I ж + 1 у—1 z
лельные прямые -= — = - и -= -= —.
F 2 12 2 12
520. Написать уравнения прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями 4у = Зж, у = 0 и z = 0. Найти эти углы.
521. Найти точку пересечения прямой ж = 2t — 1, у = t + 2, z = 1 — і с плоскостью Зж — 2у + z = 3.
ж у — I z + I
522. Найти точку пересечения прямой — = —-— = —-—
с плоскостью ж + 2у + 3z — 29 = 0.
523. Найти проекцию точки (3; 1; —1) на плоскость ж + 2у + + Zz - 30 = 0.
524. Найти проекцию точки (2; 3; 4) на прямую ж = у = z.
525. Найти кратчайшее расстояние между непараллельными прямыми:
-а у — Ь Z-C X — а\ у — bi z — ci
1
то п р ITIi nl Pl
'+1 у Z-I X у+1 Z-2
и
' 112 13 4
Указание. Предполагая прямые в общем случае скрещивающимися, нарисуем параллельные плоскости, в которых они расположены.
Из точек А(а; Ь; с) и A\(ai\ Ъ\; с\) проведем векторы AB = А\В\ =
= Р{т; щ р) и A(1J = АЇСі = Pi{mi', n\\ Pi}- Высота призмы ABCА\В\С\ и равна искомому расстоянию.
526. Показать, что прямые
ж-2 у-4 z-2
X = Z- 2, у = 2,г+1 и -= -= -
' У 3 1 1
пересекаются, и написать уравнение плоскости, в которой они расположены.
70
Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве
527. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; 1; 0) на прямую ж = 3z — 1, у = 2z.
528. Построить плоскость х + у — Z = Он прямую, проходящую через точки A(O; 0; 4) и В(2; 2; 0). Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
529. Построить плоскость у = z, прямую ж = —z + 1, у = 2 и найти: 1) точку их пересечения; 2) угол между ними.
530. Найти проекцию точки (3; 1; —1) на плоскость Зж + у + + г- 20 = 0.
х — 1у
531. Найти проекцию точки (1; 2; 8) на прямую —-— = —T = z-
532. Написать уравнение плоскости, проходящей через парал-
х — 1 у + 1 Z- 2 X у + 1 Z-I
лельные прямые -= -= - и — = -= -.
F 1-231-23
x + 3y+lz+l
533. Показать, что прямые —-— = —-— = —-— и ж = 3z — 4,
у = z + 2 пересекаются, найти точку их пересечения.
534. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
ж + 1 у — 1 z (1; 0; -1) на прямую —— = —= —.
535. Найти кратчайшее расстояние между прямыми ж = — 2у = = z и ж = у = 2.
§ 5. Сферические и цилиндрические поверхности
1°. Уравнение сферической поверхности с центром С(а, Ь, с) и радиусом R:
(х - а)2 + (у - Ъ)2 + (z - с)2 = R2. (1)
2°. Уравнение F(x, у) = 0, не содержащее z, определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Аналогично каждое из уравнений: 1) F(y, z) = 0 и 2) F(x, z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной: 1) Ох; 2) Oy.
3°. Уравнение цилиндрической поверхности с направляющей F(x, у) = 0, z = 0 и с образующей, параллельной вектору
Р{т; п; р]. Уравнение произвольной образующей будет-- =
га
у — уо Z
= - = —, где (хо; Уо', 0) — точка на направляющей.
п р
Определив отсюда Xo и уо и подставив их в уравнение направляющей, получим уравнение цилиндрической поверхности:
/ га п \
F [х- -z, у- -z) =0. 2
V P PJ
5. Сферические и цилиндрические поверхности
71
536. Найти центр и радиус сферы:
1) X2 + у2 + z2 - Зж + Ъу - Az = 0;
2) ж2 + у2 + z2 = 2az
и построить изображение второй сферы.
537. Написать уравнение сферической поверхности, вписанной в тетраэдр, образованный плоскостями
Зж - 2у + Qz - 18 = 0, ж = 0, у = 0, z = 0.
538. Написать уравнение геометрического места точек, расположенных вдвое ближе к точке А(2; 0; 0), чем к точке В(—А; 0; 0).
539. Написать уравнение сферической поверхности, проходящей через окружность ж2 + у2 + z2 = a2, x-\-y-\-z = an через точку (а; а; а).
Указание. Искомое уравнение должно иметь вид х2 + у2 + z2 - а2 + \(х + у + z - а) = 0.
540. Построить в левой системе координат поверхности: 1) у2 + z2 =4; 2) у2 = ах; 3) xz = А; А)х2 + у2 = ах.
541. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от прямой ж = а, у = 0 и плоскости yOz. Построить поверхность.
542. Написать уравнения трех цилиндрических поверхностей, описанных около сферы ж2 + у2 + z2 — 2ах = 0 с образующими, параллельными соответственно: 1) оси Ох; 2) оси Oy; 3) оси Oz.
