Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
X — а у — Ь z — с
- = -- = -• 1
т п р
Уравнения (1) называются каноническими уравнениями прямой. Вектор Р{т; щ р) называется направляющим вектором прямой.
66
Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве
2°. Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (1) параметру t:
X = uit + а, у = nt + Ь, z = pt + с.
(2)
3°. Уравнения прямой, проходящей через две точки:
р{т; п; р}
У-Vi
Zl
(3)
X2 -Xi ї/2 - 2/1 Z2 - Zi
4°. Общие уравнения прямой:
Рис. 21
Ax + By + Cz + D = О, A1X + Biy + Ciz + ?»1=0.
(4)
5°. Уравнения прямой в проекциях получим, исключив из эщих уравнений (4) один раз у, другой раз х:
X = mz + а, у = nz + Ь. Уравнения (5) можно записать в канонической форме:
(5)
У ¦
0
488. Найти следы прямых: 1) X = z + 5, у = 4 - 2z и 2)
У
1
1 2
на плоскостях хОу и xOz и построить прямые.
Указание. Положить в уравнениях прямой: 1) z = 0; 2) у = 0.
489. Уравнения прямой х + 2у + 3z — 13 = 0, Зж + у + Az — 14 = = 0 написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и ее проекции.
490. Написать уравнения прямой, проходящей через точку A(A; 3; 0) и параллельной вектору Р{ —1; 1; 1}. Найти след прямой на плоскости yOz и построить прямую.
491. Построить прямую ж = 4, у = 3 и найти ее направляющий вектор.
492. Построить прямые: 1) у = 3, z = 2; 2) у = 2, z = ж + 1; 3) ж = 4, z = у и определить их направляющие векторы.
493. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А( — 1; 2; 3) и В(2; 6; —2), и найти ее направляющие косинусы.
494. Построить прямую, проходящую через точки А(2; —1; 3) и В(2; 3; 3), и написать ее уравнения.
3. Уравнения прямой
67
495. Написать уравнения траектории точки М(х; у; z), которая, выйдя из точки A(A; —3; 1), движется со скоростью v{2; 3; 1}.
496. Написать параметрические уравнения прямой:
1) проходящей через точку ( — 2; 1; —1) и параллельной вектору Р{1; -2; 3};
2) проходящей через точки А(3; —1; 4) и B(I; 1; 2).
497. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (а, Ь, с): 1) параллельно оси Oz; 2) перпендикулярно к оси Oz.
498. Найти угол прямой х = 2z — 1, у = —2z +Ic прямой, проходящей через начало координат и через точку (1; —1; —1).
499. Найти угол между прямыми: ж — у -\- z — 4 = 0, 2ж + у — _2,г + 5 = 0иж + у + ,г-4 = 0, 2ж + 3у-,г-6 = 0.
Указание. Направляющий вектор каждой из прямых можно определить как векторное произведение нормальных векторов плоскостей (P = N x Ni).
X у Z
500. Показать, что прямая — = — = — перпендикулярна к
2 3 1
прямой X = z у = 1 — Z.
501. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (—4; 3; 0) и параллельной прямой ж — 2у + z = 4, 2ж + у — z = 0.
502. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; —3; 4) на ось Oz.
Указание. Искомая прямая проходит еще через точку (0; 0; 4).
ж + 1
503. Найти расстояние от точки М(2; —1; 3) до прямой-=
_ у+ 2 _ z-1
4 ~ 5
Указание. Точка А(—1; —2; 1) лежит на прямой; Р{3; 4; 5} — направляющий вектор прямой. Тогда
АМ\РхА~Й\ \РхАЙ\
d = AM sin a = -!-l- = J-1-.
P-AM P
504. Найти расстояние между параллельными прямыми
ж — 2 у+1 z + 3 ж — 1 у—1 z + 1
1 ~ 2 ~ 2 И 1 ~ 2 ~ 2
505. Найти следы прямой —-— = —-— = —- на координатных плоскостях и построить прямую.
506. Уравнения прямой 2ж + у + 8z — 16 = 0, ж — 2у — z + 2 = = 0 написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и ее проекции.
68
Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве
507. Написать уравнения прямой, проходящей через точку A(O; —4; 0) и параллельной вектору Р{1; 2; 3}, найти след прямой на плоскости xOz и построить прямую.
508. Построить прямую х = 3, z = 5 и найти ее направляющий вектор.
509. Найти направляющий вектор прямой х + у — z = 0, у = х и углы прямой с осями координат (см. указание к задаче 499).
510. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; —3; 4) на ось Oy.
511. Найти угол между прямыми 2ж — у — 7 = 0, 2ж — ,г + 5 = 0 и Зж — 2у + 8 = 0, Z = Зж.
512. Написать уравнения прямой, проходящей через точку ( — 1; 2; —2) и параллельной прямой ж — у = 2, у = 2z-\- 1.
513. Найти расстояние от точки М(3; 0; 4) до прямой у = 2х + + 1, z = 2ж (см. задачу 503).
§ 4. Прямая и плоскость
X — ay — Ь z — с
1. Угол между прямой - = - = - и плос-
m п р
костью Ax + By + Сz + D = 0:
. |N-P| |Am + Sn + Ср| .,,
sin P = - = -. 1
NPNP w
Условие их параллельности (N||P):
Am + Bn + Cp= 0. (2)
Условие их перпендикулярности (N _L P):
ABC
т п р
(3)
2°. Точка пересечения прямой и плоскости. Написав параметрические уравнения прямой х = mt + а, у = nt + Ь, z = pt + с, подставим в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = Q вместо х, у, z их выражения через t. Найдем ^0, а затем X0, уо, Z0 — координаты точки пересечения.
3°. Условие расположения двух прямых в одной плоскости:
