Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
458. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oy и отсекающей на осях Ox и Oz отрезки а я с. Построить ее.
459. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; —1; 3) и отсекающей на осях координат равные отрезки.
460. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Mi (—4; 0; 4) и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки а = 4 и 6 = 3.
461. Построить плоскости: 1) 2ж + у — z + 6 = 0; 2) x — y — z = 0; 3) у - 2z + 8 = 0; 4) 2ж - 5 = 0; 5) ж + z = 1; 6) у + z = 0.
462. Построить плоскость 2ж — 2у -\- z — 6 = 0 и найти углы ее нормали с осями координат.
463. Через точку М( —1; 2; 3) проведена плоскость, перпендикулярная к ОМ. Написать ее уравнение.
464. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и через точку (4; 0; 3). Построить плоскость.
465. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки Mi (2; 2; 0)иМ2(4; 0; 0). Построить плоскость.
466. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Mi(I; —3; 5) и отсекающей на осях Oy и Oz вдвое большие отрезки, чем на оси Ох.
§ 2. Основные задачи на плоскость
1°.Угол, образованный двумя плоскостями: ,N-Ni AA1+BB1+CC1
cos Lp = +- = ±-, 1
Y NN1 NN1 ' v ;
где N и Ni — нормальные векторы к плоскостям Ax + By + Cz + D = O и A1X -Ь-Вц/ + C\z + D1=O. Условие параллельности:
64
Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве
Условие перпендикулярности:
AA1 + BB1 + CC1 = 0. (3)
2°. P ас с т о я ни е от точки М0(х0; у0; Z0) до плоскости Лї + + By+ Cz+ D = O:
, _ \Ах0 + By0 + Cz0 + Р\
N- ()
3°. Уравнение пучка всех п л о с к о с т е й, проходящих через линию пересечения двух данных плоскостей:
a{Ax + By+ Cz+ D)+ ?{AlX + ВіУ + C1Z + D1) = 0. (5)
Можно положить а = 1, исключив этим из пучка (5) вторую из данных плоскостей.
467. Найти угол между плоскостями:
1) ж- 2у + 2,г-8 = 0 и X + z -6 = 0;
2) X + 2,г-6 = 0 и ж + 2у-4 = 0.
468. Найти плоскость, проходящую через точку (2; 2; —2) и параллельную плоскости х — 2у — 3z = 0.
469. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку ( — 1; —1; 2) и перпендикулярной к плоскостям ж — 2у + z — 4 = 0 и ж + 2у - 2z + 4 = 0.
470. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0; 0; а) и перпендикулярной к плоскостям ж — у — z = 0 я 2у = х.
471. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Mi(—1; —2; 0) и Мг(1; 1; 2) и перпендикулярной к плоскости ж + + 2у + 2z - 4 = 0.
472. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Mi(I; -1; 2), М2(2; 1; 2) и M3(I; 1; 4).
473. Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плоскостью 2х + у — у/5z = 0 угол 60°.
474. Найти расстояние от точки (5; 1; —1) до плоскости ж — - 2у - 2z + 4 = 0.
475. Найти расстояние от точки (4; 3; 0) до плоскости, проходящей через точки Mi(I; 3; 0), М2(4; -1; 2) и М3(3; 0; 1).
476. Найти расстояние между параллельными плоскостями
4ж + Зу - 5,г - 8 = 0 и 4ж + Зу - bz + 12 = 0.
Указание. Взять на первой плоскости любую точку, например (2; 0; 0), и найти ее расстояние от другой плоскости.
477. 1) Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости ж — 2у + 2,г — 5 = 0 и удаленных от нее на расстояние, равное 2.
3. Уравнения прямой
65
2) Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранный угол, образованный плоскостями 2ж + 2у = z и z = 0, и построить данные и искомые плоскости.
478. 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2ж — y + 3z — 6 = 0, ж + 2у — z + 3 = О и через точку (1; 2; 4).
2) Найти две взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через прямую пересечения плоскостей ж = у и Z = 0, если одна из искомых плоскостей проходит через точку (0; 4; 2). Построить прямую и искомые плоскости.
479. Найти точку пересечения плоскостей 2ж — у + 3z — 9 = 0, ж + 2у + 2^-3 = 0иЗж + у-4^ + 6 = 0.
480. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2; —1; 1) и перпендикулярной к плоскостям Зж + 2у — 2 + 4 = 0и X + у + z — 3 = 0. Построить ее.
481. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0; —5; 0) и (0; 0; 2) и перпендикулярной к плоскости ж + Ъу + + 2,г — 10 = 0. Построить ее.
482. Найти угол плоскости, проходящей через точки 0(0; 0; 0), М\(а; —а; 0) и М2(а; а; а), с плоскостью жОу.
483. Найти расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точки Mi(а; 0; 0), M2(O; а; 0) и М3(а; а; а).
484. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ож и составляющей угол 60° с плоскостью у = ж.
485. Найти расстояние от точки (а; Ь; с) до плоскости, отсекающей на осях координат отрезки а, Ь и с.
486. Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2х -\-2у -\- z — 8 = 0 и удаленных от нее на расстояние d = 4.
487. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 4ж — у -\-3z — Q = 0iix +Ъу — ^ +10 = 0 и перпендикулярной к плоскости 2ж — у + 5z — 5 = 0.
§ 3. Уравнения прямой
1°. Уравнения прямой, проходящей через точку А(а; Ь; с) и параллельной вектору Р{т; щ р). Пусть М(х; у; z) —произвольная точка
прямой (рис. 21), тогда AM || P и по условию параллельности векторов
