Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рене Луи Бэр родился в Париже 21 января 1874 г. третьим ребенком в семье скромного ремесленника. Его родители многим пожертвовали, чтобы дать ему широкое образование. По окончании одной из парижских школ он учился до 1890 г. в лицее Ляканал, а затем на математическом отделении лицея Генриха IV. В 1892 г. он был принят в Высшую Нормальную школу, которую окончил в 1895 г. со званием преподавателя математики средней школы. Для подготовки диссертации он в 1898 г. был ненадолго послан на стажировку в Италию, где, главным образом под воздействием Вольтерры, разглядевшего незаурядные способности Бэра, последний окончательно выбрал областью сво-
200
их научных исследований теорию функций действительного переменного, заинтересовавшую его еще во время учебы в Нормальной школе благодаря лекциям Жюля Таннери.
Затем началась его преподавательская работа, сначала в средних учебных заведениях, а затем, после защиты в 1899 г. докторской диссертации [5] и перерыва, вызванного болезнью, начавшейся еще в студенческие годы,— в университетах Монпейе и Дижона.
Если не считать издания Бэром в 1895 г. лекций Пуанкаре по аналитической теории теплоты, то начало его научной деятельности приходится датировать 1897 г. Первый ее период продолжался всего около трех лет, в течение которых он опубликовал наиболее важные работы, включая диссертацию «О функциях действительного переменного». Затем последовал пятилетний перерыв, и лишь с 1904 г. он вновь смог заняться научной работой. В 1904—1909 гг. появилась еще серия его исследований, посвященных главным образом уточнению и углублению идей, высказанных в трудах предшествующего периода активности. К этому времени известность Бэра во Франции достигла зенита. Его приглашают прочесть курс лекций в Коллеж де Франс, результатом которых явилась книга «Лекция о разрывных функциях» [10]; ему поручается обзор по теории множеств во французской энциклопедии математических наук [18]; выходит двухтомный курс анализа по лекциям в Дижонском университете [15, 16]; публикуется фундаментальная статья «О представлении разрывных функций», первая часть которой (1906 г.) посвящена распространению результатов, полученных ранее для функций одного переменного, на функции нескольких переменных и пополнению их, вторая (1909 г.)—их обобщению на функции, заданные на множествах из топологического пространства последовательностей натуральных чисел.
Возможно, что напряженный труд в эти годы привел к окончательному подрыву его здоровья, вскоре приведшему к прекращению и преподавательской работы. В 1914 г. он взял отпуск для лечения и уехал в Швейцарию. Там его захватила первая мировая война, и он вынужден был жить в чужой стране, испытывая большие финансовые затруднения. По состоянию здоровья он не мог заниматься научной деятельностью, находя некоторое утешение в изучении проблемы реформы календаря — на эту тему он опубликовал статью в 1921 г.
В 20-х годах к Бэру пришло и запоздалое официальное признание. За научные заслуги он был награжден орденом Почетного легиона; в 1922 г. его избрали членом-корреспондентом Парижской академии наук, а в 1925 г. установили пенсию; эта пенсия вместе с присужденной ему в 1926 г. одной из академических премий за совокупность математических работ позволила жить Бэру некоторое время без финансовых осложнений. Однако последовавшая вскоре девальвация франка вновь привела к трудностям, и его последние годы жизни в Швейцарии были тяжелыми. Умер Бэр 5 июля 1932 г.
Относительно общей направленности научных интересов Бэра Лебег [42, с. 29, 30] писал: «Если до Бэра ученые и интересовались действительными переменными, то это мимоходом и для комплексных переменных, которыми с начала XIX в. занимались почти исключительно. Бэр первым посвятил всю свою научную деятельность теории функций действительного переменного. Более того, он научил и нас плодотворно посвящать ей свои труды».
201
О его первом большом достижении — теореме о функциях первого класса — мы уже говорили (с. 37) Здесь добавим, что для ее доказательства Бэру пришлось привлечь новый способ рассуждений — трансфинитную индукцию, до этого использованную только в 1883 г. при доказательстве теоремы Кантора—Бендиксона о представлении несчетного замкнутого множества в виде суммы совершенного и не более чем счетного множеств. Этим методом Бэр пользовался затем в ряде работ, и после них трансфинитная индукция заняла прочное место в арсенале математических рассуждений.
Много говорилось и о бэровских функциях (с 38, 55—59), поэтому здесь не будем повторяться. Зато на введении им нуль-мерного пространства следует остановиться подробнее. Бэр ввел это пространство в 1899 г. Это представляется удивительным для того времени: ведь теоретико-множественной топологии тогда практически не существовало, а Фреше еще не приступил к построению функционального анализа. И хотя бэровские заметки [6, 7] по необходимости очень кратки, его широкий замысел очерчен в них достаточно четко: ввести пространство последовательностей натуральных чисел, изучить множества, элементами которых являются такие последовательности, и исследовать действительнозначные функции, заданные на таких множествах. Трудно сказать, помогла или нет ему такая общность в формулировке известного свойства Бэра, но именно в заметке [7] он сформулировал его в общем виде, а до этого вво дил его только для функций второго класса (для функций нулевого и первого классов это свойство очевидно). Даже новое обращение Бэра к детальному изучению этого цикла вопросов в 1909 г. [17] выглядит опережающим время, хотя к этому времени и появились работы Фреше, в которых были развиты многие идеи функционального анализа и теоретико-множественной топологии
