Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Научная деятельность Лебега довольно четко делится на два периода. Первый из них начался в 1898 г. и продолжался до выхода второго издания его «Лекций об интегрировании и отыскании примитивных функций» (1928 г)в. В эти годы вышли все его важнейшие работы по теории функций и связанным с нею вопросам. Для последующего периода характерны работы по проблемам элементарной геометрии, историко-математические и методические исследования. Впрочем, историко-научный подход к рассматриваемым проблемам присущ большинству и собственно научных работ Лебега. Так, из семи глав в одной из важнейших книг Лебега «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций» [13] шесть первых, по существу, представляют собой историко-критический анализ предшествующих понятий и методов и лишь в последней главе трактуется то новое, что внес в науку сам автор.
Видимо, самым большим научным подвигом Лебега явилось выделение им класса измеримых функций. Различные классы функций, вводившиеся в математику ранее — аналитические (Лагранж), непрерывные (Больцано, Коши), с ограниченным изменением (Жордан), измеримые В (Бэр),— каждый из которых, разумеется, был интересен как теоретически, так и в приложениях, все же обычно не удовлетворял аналитиков в том смысле, что одновременно с выделением соответствующего класса или некоторое время спустя оказывалось, что обычные операции анализа, как правило, выводили за пределы этого мно-
4 См. Данжуа, Феликс, Монтель [1, с. 8—13].
5 Во Франции такая книга появилась в 1956 г. е Русский перевод сделан с этого издания.
197
жества функций. Ограниченность даже самого общего из названных классов — Э-функций Бэра — была обнаружена вскоре после его введения. Уже предельный переход почти всюду, примененный к последовательностям многочленов, выводит за пределы ^-измеримых функций. Но особенно это стало ясным после применения в 1917 г. Л-операции Суслиным7.
Не так обстоит дело с измеримыми в смысле Лебега функциями. Никакой самый общий вид сходимости, никакой самый мощный метод суммирования, ни одна из операций дифференцирования—словом, ни одна аналитическая операция не приводит к неизмеримым по Лебегу функциям. Построение неизмеримых функций связано с применением аксиомы Цермело или эквивалентного ей положения. Так что фактически дело обстоит так, что и сегодня, спустя много десятилетий после введения понятия измеримой функции, почти все аналитические изыскания — предельно абстрактные теории дифференцирования и интегрирования, общие разложения в ряды и т. п.— вращаются в рамках измеримых функций.
Еще в 1905 г. Витали, а в 1908 г. Ван-Флек построили первые примеры неизмеримых по Лебегу множеств (функций) и с тех пор подобных примеров появилось немало. Более того, имеется довольно много работ, авторы которых, разрабатывая те или иные проблемы, стараются избавиться в своих рассуждениях от ограничения измеримости у изучаемых функций. Все же эти исследования пока остаются вне рамок основного потока аналитических изысканий, и далеко не ясно, во что они выльются. Во всяком случае, класса функций, более общего, чем измеримые, до сих пор не выделено.
Знаменит Лебег главным образом исследованиями по теории интегрирования. Он разработал ее в столь законченном и совершенном виде, что после его работ стало чуть ли не анахронизмом изучать и применять предшествующую теорию. Появившиеся вскоре новые более общие теории не имеют такого диапазона применений. Но не меньшей известности он заслуживает своими работами по теории дифференцирования. Здесь прежде всего выделяется понятие производной почти всюду, заменившее прежнюю производную. Именно для него Лебег доказал теорему о производной монотонной функции; именно оно фигурирует в большинстве важнейших подходов к проблемам интегрирования и дифференцирования. Не менее важно лебеговское дифференцирование функций множеств.
Такое же превращение, как и теория интегрирования, претерпела в руках Лебега и теория тригонометрических рядов. После появления его «Лекций о тригонометрических рядах» [24] ряд Фурье стал, по преимуществу, рядом Фурье—Лебега, и лишь в тех случаях, когда речь идет о применении для вычи сления коэффициентов Фурье более общего понятия интеграла, это требовало специальной оговорки.
Существенно изменились после работ Лебега понятия суммируемости и сходимости. Основными видами, наиболее обиходными в аналитических изысканиях, стали сходимость и суммируемость почти всюду.
О лебеговских исследованиях по ?-функциям и ?-множествам мы говорили довольно много (с. 55—64). Здесь, видимо, целесообразно еще раз повторить,
' Фактически эту операцию ввели в 1916 г. Александров и Хаусдорф, но именно Суслин воспользовался ею для эффективного построения множеств (функций), неизмеримых В.
198
что, хотя еще Вэр прочно связал изыскания о функциях с учением о множествах, лишь Лебег в его мемуаре «О функциях, представимых аналитически» [21] сделал эту связь неразрывной, положив в основу ее характеристику функций множествами ?(/<а). Когда же в 1916 г. Валле-Пуссен начал широко пользоваться понятием характеристической функции множества, то переход от функций к множествам и наоборот стал одним из важнейших инструментов исследования.
