Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
18 См. Вилейтнер [1, с. 384].
" В русском переводе французское слово «l'initiateur», употребленное Дьёдонне, переведено словом «основоположник», что не совсем соответствует содержанию мысли автора
го См. Паплаускас [1, с. 7—38].
17
му, от дискретного к непрерывному, которыми затем руководствовались Вольтерра и Гильберт при построении теории интегральных уравнений и функционального анализа
Не менее важна роль книги Фурье и в формировании отдельных понятий будущей теории функций. На протяжении всей книги подчеркивается произвольный характер функциональной зависимости и даже дается формальное определение понятия функции [1, с. 500], по своей четкости превосходящее последующие определения Лобачевского и Дирихле; то, что фактически Фурье работал с менее общим понятием функции, вполне объяснимо отсутствием соответствующего математического аппарата 22. Уже сама роль определенного интеграла в его соображениях наводила на мысль о первостепенной важности этого понятия в противовес господствовавшему ранее представлению об интеграле, как о некоей частности, как просто о разности значений примитивной. В книге можно вычитать понятия предела (с. 151), функции распределения (с. 437), даже обобщенной функции (с. 439).
Конечно, этой книге недостает очень часто той четкости и строгости, которую сегодня хотелось бы видеть там. Удивительно, однако, то, что многие «нестрогие» утверждения Фурье в конце концов оказывались в общем-то верными. Это мы продемонстрируем единственным примером, хотя число подобных примеров можно было бы увеличить.
Одним из центральных пунктов книги Фурье была мысль, что произвольная функция одного действительного переменного пред-ставима тригонометрическим рядом. Его доказательство этого утверждения не удовлетворит не только современного читателя; оно не убедило и его современников. Не очень-то ясно было, что означает в этом предложении термин «произвольная функция», какой смысл следует вкладывать в слово «представима». Уточнение и углубление смысла данных выражений происходило на протяжении почти всего XIX и первой половины XX в. От первых успехов, вроде теоремы Дирихле (1829 г.), что всякая функция, имеющая конечное число точек экстремумов и разрывов, действительно представима сходящимся всюду к этой функции рядом Фурье23, и примера Дюбуа-Реймона (1877 г.) непрерывной функции, не выражающейся сходящимся всюду рядом Фурье 2\ через уточнения и расширения терминов «функция» и «представление» правильность основной мысли Фурье кульминировала в теореме Меньшова (1950 г.), что всякая измеримая конечная почти всюду или принимающая бесконечные значения одного знака на мно-
21 То, что эти идеи высказывались ранее Д. Бернулли и Эйлером (см. Дорофеева [1, с. 67]), не слишком умаляет заслугу Фурье.
22 Нельзя согласиться с Хокинсом [1, с. 5—8], который прилагает большие усилия к тому, чтобы убедить, что общее понятие функции не следует связывать с именем Фурье
23 См Паплаускас [1, с. 85—94].
24 См. там же, с. 150—155
18
жестве положительной меры функция изображается рядом Фурье, сходящимся к ней по мере.
В общем, о влиянии Фурье на развитие теории функций можно было бы говорить очень много, но это скорее уместно в отдельной работе, а не в кратком обзоре, посвященном вкладу французских математиков в теорию функций в XIX в. Поэтому мы ограничимся в заключение оценкой книги Фурье [1], данной Дарбу в первых строках его предисловия к изданию 1888 г. этой книги: «Этот замечательный труд, который поистине можно поставить в один ряд с самыми совершенными научными творениями всех времен, характеризуется интересным и оригинальным изложением основных принципов. Он бросает самый живой и наиболее глубоко проникающий свет на все основные идеи, которыми мы обязаны Фурье и на которых отныне должна покоиться натуральная философия» (см. Фурье [1, с. V]).
Меньшее, чем Коши или Фурье, но все же очень заметное влияние на развитие теории функций оказали исследования их современника Пуассона. Особенно следует подчеркнуть его достижения в теории тригонометрических рядов и по теории суммирования расходящихся рядов 25.
Несомненно влияние Лиувилля, главным образом в связи с идеями разложения функции по собственным функциям, обобщениям интеграла Фурье и дробного дифференцирования. Нельзя не упомянуть теорему Бонне, известную под наименованием второй теоремы о среднем интегрального исчисления (1849 г.); исследования Лагерра по преобразованию расходящихся рядов в сходящиеся непрерывные дроби 26 и по полиномам его имени; создание теории действительных чисел Мере (1869 г.) до появления соответствующих работ Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора 21. Из более поздних можно напомнить некоторые результаты Югоньо и Альфана, почему-то почти не замеченные в историко-научной литературе, но представляющие определенный интерес. Первый в 1882 г. установил, хотя и не совсем точно, сходимость в среднем разложения функции с интегрируемым квадратом по любой системе ортонормальных функций 28. Второй [1] обнаружил, что из сходимости ряда в среднем вообще не следует его сходимость в каждой точке; ему же принадлежат исследования по дробному дифференцированию; он ввел полиномы, известные под наименованием полиномов Аппеля. Последний лишь более глубоко изучил свойства этих полиномов 29.
