Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
13 См. Клейн [1, с. 98—99].
14 Цитируется по книге Калло [1, с. 197] 18 Ж. Таннери [3, с. 387].
15
Начиная же со второй половины столетия, картина математического образования в этих школах становится иной: в Политехнической школе оно ухудшается, а в Нормальной школе становится неизмеримо лучше. Не случайно, что из последней вышли в этот период такие !первоклассные ученые, как Мере (1854 г.), Шаль (1860 г.), Дарбу (1861 г.), Тиссеран (1863 г.), Аппель (1873 г.), Пикар (1874 г.), Гурса (1876 г.), Пенлеве (1883 г.), Адамар (1884 г.), Борель (1889 г.), Э. Картай (1891 г.), Бэр (1892 г.), Лебег (1894 г.), Монтель (1894 г.), Ланжевен (1894 г.) и др.
§ 4. Исследования по теории функций во Франции в XIX в. (до работ Бореля, Бэра и Лебега)
В § 2 настоящей главы было отмечено, что теория функций действительного переменного XIX в. создавалась в основном не французскими учеными и что, хотя несколько математиков Франции приняли участие в этом деле, их вклад невелик, если его сравнивать с вкладом немцев и даже итальянцев. Тем не менее французскими учеными были получены существенные результаты, и, что более важно, в известной мере именно они подготовили тот взлет теоретико-функциональных изысканий, которому, главным образом, и посвящена настоящая работа. Поэтому целесообразно остановиться подробнее на характеристике трудов французских математиков в области теории функций до интересующего нас периода подъема.
По принятой нами квалификации теории функций как новом этапе математического анализа, воздвигнутом на фундаменте теории точечных множеств в «-мерных евклидовых пространствах, многие из указываемых далее результатов принадлежат собственно классическому анализу. Однако большинство из них послужило столь мощными истоками будущих теоретико-функциональных идей, в частности во Франции, чт,о обойти их молчанием в настоящем параграфе вряд ли целесообразно. Здесь мы совсем коротко опишем отдельные идеи и результаты французских ученых, предшествующие появлению теории функций в интересующем пас аспекте,
Понятие предела в некотором смысле является очень давним понятием, восходящим еще к Древней Греции, Однако только в работах Коши, особенно начиная с его «Алгебраического анализа» (1821 г.), оно в трех его важнейших для XIX столетия вариантах—предел последовательности, предел функции и предел интегральных сумм — заняло то центральное положение, которое стало характерным для него как в анализе, так и в теории функций. Через него Коши определил производную (1821 г.), сумму ряда (1821 г.), интеграл 16 и ряд других основополагающих по-
16 О понятии интеграла у Коши см Медведев [2, с 174—181].
16
нятий. Упомянем важный признак сходимости рядов, известный под наименованием признака Больцано—Коши который продолжает широко использоваться не только в теории функций, но и в современных исследованиях но функциональному анализу; четкое различение Коши между сходимостью функционального ряда вообще и сходимостью к данной функции («Лекции по дифференциальному исчислению», 1829 г.) введение им понятия непрерывной функции (1821 г.) и идеи функции множества; изучение равномерной сходимости рядов. К этому можно было бы добавить многочисленные теоремы об интегралах, производных, рядах и т. д., уточнение, обобщение или опровержение которых потребовало большого труда следующего поколения математиков.
Пожалуй, не менее велика роль Фурье. Однако если влияние Коши на развитие математики XIX в. в общем признано (и даже в некоторых отношениях переоценивается), то, как все чаще и чаще отмечается в историко-математической литературе, воздействие Фурье порой умаляется. Для подтверждения последнего приведем только один факт.
Дьёдонне, рассматривая развитие гармонического анализа и отмечая, что Фурье был инициатором его [2, с. 32]19, тем не менее квалифицирует Фурье как математика XVIII столетия (с. 32) и пишет, что рождение гармонического анализа в современном смысле можно датировать мемуаром Дирихле 1829 г. (с. 34), а не книгой Фурье «Аналитическая теория теплоты» (1822 г.); точно так же общее понятие функции он связывает только с именем Дирихле (с. 33—34), хотя у Фурье оно было сформулировано более общим образом, нежели у Дирихле.
Книга Фурье «Аналитическая теория теплоты» оказала на развитие математики XIX в., пожалуй, большее влияние, чем вся совокупность работ Дирихле. Действительно, теория рядов Фурье — одна из центральных проблем математики и математического естествознания XIX—XX вв.; то, что Фурье имел здесь предшественников 20, не только не умаляет его заслуг, а скорее наоборот — на их фоне становится виднее, насколько он выше их в этом вопросе. То же самое (кроме предшественников) можно сказать и о теории интеграла Фурье. Далее, с его именем можно связать зарождение теории интегральных уравнений; в названной его книге содержатся зачатки теории решений бесконечного числа линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных; в ней высказаны идеи того перехода от конечного к бесконечно-
" Подробнее о нем см Граттен-Гюиннес [1, с. 71—78; 2]. Хотя Больцано и принадлежит несомненный приоритет в установлении этого признака, но распространение и признание он получил благодаря Коши
