Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы сказали, в XIX в. был создан аппарат тригонометрических рядов. К ним были вскоре присоединены другие ортогональные разложения. Основным приемом изучения функций, представляемых тем или иным разложением, было изучение вопроса о сходимости ряда или последовательности, ассоциируемых с функцией. При этом имелась в виду сходимость в каждой точке или, в крайнем случае, при пренебрежении некоторыми относительно простыми множествами точек. Обнаружилось, однако, что при таком взгляде на изображение функции рядом аппарат ортогональных разложений недостаточен: даже непрерывная функция не всегда может быть представлена рядом Фурье, сходящимся к ней в каждой точке7. Для сохранения ортогональных разложений как средства аналитического изображения функций требовалось изменить понимание представления функции рядом.
Интеграл Коши — Римана помог решить многие задачи классического анализа: дать формулы для выражения длины кривой и площади поверхности, найти примитивную функцию по ее производной, определить коэффициенты ортогонального разложения
6 Такое представление о функции, восходящее к Эйлеру (1755 г.), является итогом длительного развития, самая общая дефиниция этого представления принадлежит Дедекинду (1887 г.).
7 Пример Дюбуа-Реймона (1873 г.); о нем см. Паплаускас [1, с. 150—155].
11
и т. д. для классов функций, достаточно широких, чтобы удовлетворить нужды тогдашней математики и математического естествознания. Но вместе с тем была установлена и его недостаточность. Вольтерра в 1881 г. построил пример ограниченной производной, неинтегрируемой по Риману8; Шеффер в 1884 г. показал недостаточность интеграла Римана для выражения длины кривой; поскольку имелись примеры относительно простых неинтегрируемых функций, то не могло быть и речи о представлении их рядами Фурье. Словом, назрела потребность в обобщении понятия интеграла.
Аналогично обстояло дело с понятием производной. Функцию считали дифференцируемой, если она имеет производную в каждой точке, за исключением, возможно, относительно простого множества точек, в которых производная может отсутствовать. При таком подходе к понятию производной не удавалось выделить сколько-нибудь общего класса дифференцируемых функций (помимо аналитических) и связать друг с другом операции дифференцирования и интегрирования. Так что и в вопросах дифференциального исчисления возникла нужда в соответствующих обобщениях.
В течение XIX в. разрабатывалась преимущественно теория функций одного действительного переменного. Распространение некоторых ее результатов на функции нескольких переменных сталкивалось с существенными затруднениями. Между тем для нужд математического естествознания более важным был именно случай нескольких переменных. Достаточно заметить, что до XX столетия в математике практически не существовало понятия, адекватно описывающего естественно-научные представления дифференциального характера, вроде плотности тела, напряженности поля и т. п., когда число измерений пространства превышало единицу. Предвосхищения Коши и Пеано9, выразившиеся во введении понятий функции множества, дифференцирования одной функции множества по другой и интегрирования функции точки по функции множества, оставались неизвестными не только для представителей математического естествознания, но и для математиков, а если о них и знали, то не понимали сути дела. Для решения давно поставленной задачи недоставало многих представлений, выработка которых стала возможной в конце столетия после создания теории множеств, и изучение таких представлений, связанных с понятием функции множества, стало на повестку дня.
Мы самым общим образом описали отдельные из больших проблем, возникших в теории функций к концу XIX столетия: необходимость введения и изучения широких классов разрывных функций, расширения взглядов на аналитическое представление
8 О нем см, например, Лебег [40, с. 87—88].
• О них см., например, Медведев [1, с. 140—144].
12
таких функций рядами, обобщения операций дифференцирования и интегрирования, распространения на многомерный случай отдельных теоретико-функциональных концепций и введения фундаментального понятия функции множества. К ним можно было бы добавить много задач более частного характера, но будет, пожалуй, целесообразнее рассмотреть их позднее. Именно за их решение взялась на рубеже веков группа французских математиков, труды которых предполагается рассмотреть в настоящей работе. То, что эти проблемы были злободневными, подтверждается необычайно широким резонансом, вызванным во всем математическом мире трудами французских ученых.
§ 3. О Политехнической и Нормальной школах в XlX в.
Великая французская революция конца XVIII столетия знаменовала собой и новый этап в постановке образования в стране. Вышедшему на мировую арену классу буржуазии нужны были новые кадры, вооруженные передовыми наукой и техникой. До этого основную роль в подготовке научно-технических кадров играли университеты. Однако университеты Франции предшествующего периода «отстали во всем, что касается пауки и техники, на несколько столетий. Перипатетические в то время, когда ученый мир вместе с Декартом отказывается от философии Аристотеля, они делаются картезианскими, когда все становятся нью-тонианцами» 10. Поэтому очень важным моментом революционных преобразований во Франции явилась перестройка высшего образования. Эта перестройка производилась в разных направлениях. Мы коротко остановимся только на создании и деятельности двух новых учреждений — Политехнической и Нормальной школ, да и то лишь в той мере, в какой это касается высшего математического образования.
