Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Наша схема: расцвет математических исследований во Франции в начале XIX в., упадок в середине века и новый взлет, но на относительно узких, хотя в некотором смысле и определяющих направлениях, — относится, вероятно, не только к математике. Вполне аналогичная ситуация характерна для развития физики, что мы можем подтвердить ссылкой на статью Иваненко [1, с. 157—158], и, по-видимому, для развития во Франции других наук 3.
§ 2. О первом этапе развития теории функций действительного переменного
Ограничивая термин «теория функций действительного переменного» значением: учение о функциях, задаваемых на произвольных множествах точек евклидова пространства любого конечного числа измерений и принимающих вещественные значения, мы можем сказать следующее. Классический анализ тоже является учением о функциях, что с полной определенностью высказал Эйлер еще в 1748 г., однако функции в нем рассматриваются заданными на нерасчлененном геометрическом объекте — отрезке прямой, куске плоскости или криволинейной поверхности, участке пространства (включая всю прямую, плоскость, по-
3 Некоторое отступление от этой схемы, состоящее в переносе на более ранний период двух первых экстремумов у линии развития географии и отмеченное Александровской [1, с 6], можно объяснить тем, что автора больше интересовало не развитие географии в целом, а выработка общих взглядов на эту науку.
9
верхность, пространство), и такой способ задания функций был очень во многом обусловлен применявшимся в XVII—XVIII вв. аналитическим аппаратом представления функций степенными рядами, позволявшими выделить в аргументе функции самое большее ограниченные, неограниченные, открытые и замкнутые промежутки.
Введение нового аналитического аппарата — тригонометрических рядов с их подчинением принципу локализации — постепенно привело к разрыву нерасчленявшейся ранее области задания функции на составляющие ее части — точки. Область задания превратилась в точечное множество, и изучение функций, заданных на множествах, потребовало создания новых математических наук: теории множеств и теории функций действительного переменного, являющейся прямым обобщением классического анализа и основанной на теоретико-множественном методе.
Математический фундамент новой теории функций был заложен главным образом в трудах французских ученых первой половины XlX в. — Фурье, Пуассона и Коши. Они во многом создали и применили аппарат тригонометрических рядов; довели до логического завершения основные понятия классического анализа — понятия предела, функции, производной, интеграла, суммы ряда; существенно расширили область приложений анализа бесконечно малых 4.
Казалось бы, что во Франции сложились все условия для строительства на этой основе следующего «этажа» учения о функциях. История, однако, распорядилась по-иному. Отмеченный выше спад математической активности во второй половине XIX в. охватил и исследования в области теории функций. Последняя стала создаваться учеными других стран, главным образом немецкими математиками.
Дирихле, Риман, Ганкель, Гейне, Кантор, Дюбуа-Реймон, Де-декинд, Вейерштрасс, Гарнак, Штольц, Гёльдер, Паш, Томе, Прингсгейм в Германии; Дини, Асколи, Арцела, Вольтерра, Пеано в Италии; Лобачевский и Чебышев в России; Смит в Англии — трудами этих ученых было создано и учение о множествах — теоретическая основа новой науки, и сама теория функций действительного переменного 5.
Конечно, существен вклад и двух великих французов — Дарбу и Жордана; можно отметить также Бертрана, Мере, Альфана, Югоньо, Ж. Таннери и некоторых других. Однако в целом их вклад не столь велик.
4 Относительно проделанной ими работы см книгу Граттен-Гюиннеса [1]. К ним следует присоединить чеха Больцано, хотя его работы и не оказали столь прямого воздействия на развитие математики.
5 Их труды освещены во многих исторических работах; из сравнительно недавних ограничимся указанием книг Паплаускаса [1], Песина [1], Медведева [1, 2] и Хокинса [1]; относительно исследований Чебышева по конструктивной теории функций укажем, например, книгу Юшкевича [1, с. 405—426].
10
Трудами 'Названных выше ученых была создана большая математическая дисциплина — теория функций действительного переменного XIX в. Были решены многие вопросы, поставленные развитием классического анализа. Но вместе с тем в исследованиях по теории функций возникло еще больше проблем, не решавшихся разработанными методами. Коротко остановимся на некоторых из них.
В XIX столетии утвердилась концепция функции, известная под не совсем адекватным наименованием понятия функции по Дирихле, как произвольного однозначного соответствия между элементами двух множествОднако в такой общности это понятие было, и в значительной мере остается сегодня, чисто номинальным понятием: наименовывалось некоторое, в общем не очень-то ясное представление, с которым в этой общности нечего было делать — не хватало (не хватает и теперь) математических средств для его изучения. В процессе развития математики на общее понятие функции всегда накладывались те или иные ограничения, обусловленные наличным математическим арсеналом средств, пригодных для его изучения. Наиболее характерным для XIX в. ограничением, накладывавшимся на понятие функции, было ограничение быть непрерывной, за исключением, разве, конечного числа отдельных точек и, реже, относительно простого бесконечного (главным образом приводимого) множества. Но мир разрывных функций был открыт и требовал своего изучения.
