Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Это пространство Бэр [17, с. 105, 106] определил следующим образом. Рассматривается множество R всевозможных последовательностей
a = (пи /I4, ... , nk, . ..) (1)
натуральных чисел8. Это множество Бэр назвал основным множеством; мы будем называть его пространством Бзра, а каждую последовательность (1) — точкой этого пространства9. Окрестностью в R или интервалом Бэра порядка k 10 является множество тех точек из R, у которых фиксированы первые к чисел пи, а остальные изменяются произвольно.
Это определение позволило Бэру ввести понятие предельной точки для множеств из R (с. 107), а затем и перенести на такие множества основные понятия и предложения теории точечных множеств, связанные с ним.
В пространстве Бэра можно ввести расстояние между двумя точками (х, у): если первые k чисел соответствующих последовательностей одинаковы, а k+l числа различны, то
р(х, у) = 1/*11.
8 Нуль исключается.
9 Сам Бэр тоже называл R пространством, а последовательность (1) —точкой этого пространства [17, с. 134].
1,1 Бэр называл их группами порядка к [17, с. '106].
11 У Бэра это выражено так: «Две различные последовательности—элемента рассматриваются как тем более близкие друг к другу, чем больше они имеют одинаковых последовательных членов, начиная с первого» (с. 106).
202
Пространство Бэра с этой метрикой является полным метрическим пространством, а так как такое пространство является множеством второй категории на самом себе [17, с 116], то это позволяет пользоваться методом категорий для доказательства многих теорем существования. Его, например, и применяет Бэр [17, с 125] при доказательстве теоремы о функциях первого класса, заданных на замкнутом множестве из R.
Пространство Бэра использовалось затем очень часто. Укажем, например, что все изложение теории В- и Л-множеств в фундаментальной книге Лузина «Лекции об аналитических множествах» [2] построено в применении к множествам, заданным в пространстве иррациональных точек евклидова пространства, являющегося частным случаем пространства R.
Из топологических работ Бэра можно также указать статью «О неналожимости двух континуумов п и п-\-р измерений», в которой он попытался доказать давнишнюю теорему, восходящую к Кантору и Дедекинду12, что между двумя континуумами различного числа измерений невозможно установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. Для этой цели он установил цепь топологических теорем, ведущих к ней, но самого утверждения о невозможности такого соответствия он здесь не доказал, пообещав [14, с. 94] сделать это в специальном мемуаре, который, кажется, так и не появился.
Остановимся еще на бэровских «Лекциях по общим теориям анализа» — двухтомном курсе математического анализа. Лебег [44, с. 29] назвал его «прекрасной книгой»13 Мы придерживаемся более осторожной оценки, помещая «Лекции» Бэра в разряд рядовых курсов анализа того времени и мотивируя это тем, что книги Бэра не использовались сколько-нибудь широко в последующих исследованиях по математике, как это было, например, с вышедшими ранее курсами анализа Гурса или Валле-Пуссена.
Разумеется, Бэр был большим математиком, и в указанных двух его книгах можно обнаружить интересные идеи Так, в его принципе продолжения функции f{x, у) двух рациональных аргументов, равномерно непрерывной во всякой замкнутой области, до непрерывной функции F(x, у), заданной при любых действительных х, у и такой, что F(X1 y)=f(x, у) в рациональных точках [15, с. 25—28], можно увидеть намек на принцип продолжения Гана—Банаха. В его расширении алгебраического исчисления на множества функций [15, с. 30, 31] вычитывается предвосхищение понятия линейного функционального пространства м. Несколько своеобразно введение Бэром понятия дифференциала [15, с. 71', 72, 119, 120]. Содержатся там и некоторые, по-видимому, новые теоремы, вроде такой, что монотонная функция, принимающая один раз всякое значение, заключенное между верхней и нижней гранями ее значений на ограниченном интервале, является непрерывной (с. 50). Однако в целом «Лекции по общим теориям анализа» Бэра, видимо, не оказали существенного влияния на развитие математики. То же самое можно сказать и о его небольшой книге «Теория иррациональных чисел, пределов и непрерывности» [11], хотя она издавалась во Франции трижды — в 1905, 1912 и 1920 гг.
12 См Медведев [1, с 107—110].
13 Высоко оценил его и Костабель [1, с 407].
14 Более четко оно было сформулировано Пинкерле еще в 1901 г.
203
Морис Фреше
Морис Рене Фреше скончался совсем недавно, его жизнь и научная деятельность еще ожидают своих исследователей. Мы далее опираемся на краткие заметки Мандельбройта [1] и Дюге [1, 2], да на относительно небольшое число работ самого Фреше.
Родился Фреше в 1878 г. в местечке Малиньи департамента Ионны четвертым ребенком в семье учителя небольшой протестантской школы. После переезда семьи в Париж он поступил в лицей Бюффона, где в то время преподавал Жак Адамар. Последний вскоре заметил склонность молодого Фреше к математике, начал читать для него специальные лекции, давал решать интересные задачи.
