Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы проиллюстрируем качественную сторону дела, попытавшись объяснить, почему КГ не «истинна» и почему это нетривиально. _
Как было сказано, мы хотим построить подмножество М в R мощности, промежуточной между мощностью N и мощностью R. Для этого можно поступить так: пусть для любого ге/ случайное число Xi: [0, I]1—>[0, 1] есть t'-я проекция. Выберем подмножество Jczl такое, что oo-<card/<card/ (это возможно, если / велико) и положим
Тогда в обычном смысле слова card )V<cardM<cardi?. Однако нам нужно доказать, что соответствующие утверждения «истинны»
8—1
113
в нашем пи'квикеком смысле. Но в этом смысле роль целых чисел берут на себя «локально целые» (целые с вероятностью 1 при всех испытаниях) случайные числа, мощность которых может быть гораздо больше чем шо. Поэтому необходимая нижняя оценка card Ж оказывается резко поднятой. Аналогично, описание М, которое мы дали в наивных терминах, после формализации и последующей расшифровки для R начинает иметь другой смысл и приводит к множеству, гораздо большему, чем «настоящее» Ж, поэтому неясно, что сохранится верхнее неравенство для card Ж. То, что в конце концов все оказывается в порядке, выглядит почти как чудо.
План оставшейся части главы следующий. В § 2 и 3 мы излагаем (с сокращениями) этот урезанный вариант теоремы о невыводимое™ КГ в языке вещественных чисел второго порядка. Читатель, которого интересует полное доказательство, может начать прямо с § 4, где вводится булевозначный, «универсум случайных множеств», заменяющий. К. В § 5—7 проверяется «истинность» аксиом Цермело — Френкеля, а в § 8 — «ложность» КГ.
2. ЯЗЫК ВЕЩЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА
2.1. В этом параграфе мы опишем формальный язык, ориентированный на теорию вещественных чисел. Это значит, в частности, что переменные х, у, z, ... будут рассматриваться как имена вещественных чисел. Однако при попытке записать на' языке первого порядка интересующие нас утверждения, например гипотезу континуума КГ или даже просто аксиому полноты (отличающую множество всех вещественных чисел от рациональных), мы обнаружим, что не в состоянии этого сделать. Действительно, в этих формулировках речь идет о произвольных подмножествах (или одноместных отношениях) вещественных чисел, тогда как в языках первого порядка нет символов для переменных отношений: ср. п. 3.17 гл. I.
Поэтому нам придется рассмотреть язык второго порядка ЬгНеа!, самый экономный, в котором выражаются аксиомы и КГ. При описании языка мы будем кратки, отмечая в основном специфику, связанную с ориентацией и особенностями второго порядка.
2.2. Язык L?Real. Алфавит состоит из символов переменных х, у, z, ..., переменных ранга 1 : f, g, h, ..., констант 0, 1, операций -f- , • ранга 2; отношений = , ^ ранга 2; связки, кванторы, скобки, запятые — те же, что в языках 2\.
Термы. — это л:, у, z, ... и 0, 1, а также f (t), tl-ti и ес-
ли f — символ функции; t, tx и tt — термы. Термы суть имена вещественных чисел.
114
Атомарные формулы: t{=t2 и где U — термы.
Формулы, определяются индуктивно в точности, как" в языках со следующим дополнением: yf (Q) и 3f(Q) — формулы, если Q — формула, f — символ переменной функции.
Понятия свободного вхождения переменной (х или f) замкнутой формулы и другие очевидным образом переносятся на наш язык. Приемы сокращенной записи — те же, что были продемонстрированы в гл. I. Подразумеваемая стандартная интерпретация формул языка должна быть очевидна из определений и следующих примеров формул.
2.3.
Формула Z(y): «у — целое число». Способ записать это, вероятно, не совсем очевиден: мы пишем «у можно получить, прибавляя (или вычитая) 1 к 0» или «любая функция / с периодом 1, обращающаяся в нуль в нуле, обращается в нуль в у», что дзет
z (У): Vf ((f(°) =° Л У х (/ (х) = / (х + 1))) - / (у) = 0).
2.4.
Формула КГ: «любое подмножество в R либо равномощнв R, либо счетно, либо конечно».
Подготовленная словесная формулировка: «для множества нулей любой функции h либо существует функция g, отображающая его на все R, либо существует функция f, отображающая целые числа на него».
Формула:
КГ: уh (зg yygx:'(A (х) = ОД у= g'(x)) V 3 /УУ (h (У) =
= 0 — 3* (Z (х) Д у=fix)))).
Обратите внимание, что Z(x) входит в КГ как составная часть. Запишем еще аксиому полноты
2.5.
Формула П: «любое ограниченное сверху подмножество в R (.множество значений функции /) имеет верхнюю грань (z):
vftaу Vх (! Iх) <у) -*• зг у у (Vх (fi*) ^ у) -—-г < у))-
Все остальные интересующие нас формулы пишутся еще проще и не потребуют специальных комментариев.
Теперь мы дадим точное определение свойства «истинности» замкнутой формулы языка L^Real, неформально описанного в § 1. Подчеркнем, что оно не является абсолютным, а зависит от выбора основного вероятностного пространства Q, которое используется для конструкции «модели» вещественных чисел.
8*
f15
2.6. Алгебра истинностных значений. Как в § 1, положим:
I — некоторое множество;
Q=[0, I]1 — с мерой Лебега;
В — алгебра измеримых множеств й по модулю', подмножеств меры 0;
0 — класс пустого множества в В\ •
