Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
1.7. Идея Геделя. Гедель рассматривает основные теоретикомножественные операции: образование пары, произведение, дополнение, сумму и т. п. — и строит класс всех множеств, которые получаются трансфинитным итерированием этих операций, исходя из 0. Такие множества называются конструктивными. Заранее совершенно не ясно, любое ли подмножество {0, 1, 2, ...} конструктивно или, более общо, любое ли множество из универсума V конструктивно. (Оказывается, что эта задача столь же формально неразрешима, как и проблема континуума.) Однако внутри класса конструктивных множеств число подмножеств (0, 1, 2, ...} оказывается равным ©1, вероятнее всего, просто потому, что массу неконструктивных подмножеств мы пропустили. В то же время все аксиомы теории множеств, ограниченные на этот класс, в разумном смысле слова оказываются истинными, как и все выводы из них. Поэтому отрицание КГ невыводимо, будучи неистинным в этой модели.
111
В этой книге доказательство Геделя не излагается, см., например, [20].
1.8. Идея Коэна. Мы излагаем ее ниже в варианте Д. Скотта и Соловья и к тому же на модельной задаче.
Мы будем обсуждать КГ в следующей форме: не существует подмножества вещественных чисел Я, мощность которого была бы строго промежуточной между мощностями (0, 1, 2, ...} и Я.
Действительно, если 2“>0><в1, то множество МОЩНОСТИ ю, в Я имело бы промежуточную МОЩНОСТЬ.
Чтобы установить недоказуемость этого утверждения, что равносильно теореме Коэна, достаточно построить модель вещественных чисел, в которой все аксиомы и следствия из них выполняются, а множество промежуточной мощности существует.
Этой моделью будет служить множество В случайных чисел на очень большом вероятностном пространстве^. Подбирая й, можно сделать В настолько большим, что между N (целые числа модели) и Л (континуум модели) будет множество промежуточной мощности, погруженное в В внутри модели.
Конечно, дело не может обстоять так просто, и проведению этой программы должно что-то мешать. Мешает то, что почти все свойства Л,_в том числе большинство аксиом, оказываются ложными для В, так что В не может служить моделью Л в обычном смысле слова. Способ преодоления этой трудности и составляет основную идею Коэна. Коэн заменяет свойство истинности утверждения другим свойством, которое мы будем называть временно «истинностью» и которое обладает нужными формальными качествами. Именно, все аксиомы Я оказываются «истинными» в Л, все выводы из «истинных» утверждений по правилам логики приводят снова к «истинным» утверждениям, а КГ оказывается не «истинной» и, значит, не выводимой из аксиом.
Покажем подробнее, как это делается.
1.9. Пусть I—?множество мощности >'«01. Положим й=|[0, I]1 с мерой Лебега; Л=множество случайных чисел на й=множество вещественно-значных измеримых функций на й.
1.10. Теорема.
а) Для В «истинны» все аксиомы вещественных чисел и все выводы из них.
б) Для В утверждение КГ не «истинно». _
Свойство: утверждение Р о случайных числах х, у, .. .<=В «истинно» нужно понимать так:
если рассмотреть точку шей, взять значения ж(ш), у(&), ... случайных чисел х, у, ... в ней и образовать утверждение Рт об этих обыкновенных вещественных числах, то для почти всех шей (кроме множества меры 0) Рю окажется истинным в обычном смысле слова.
112
Короче: «истинность» — истинность при всех испытаниях с вероятностью единица.
Пример. Пусть Р — утверждение «в R нет делителей нуля», т. е. «если х, y^R таковы, что ху=О, то либо х—0, либо у=О». Тогда утверждение «в R нет делителей нуля», конечно, не истинно. Однако_оно «истинно», потому что истинно утверждение: «если х, yef? таковы, что ху—0, то для почти всех доеО либо ^(ш)=0, либо у(ш)=0».
1.11. Чтобы придать точный смысл определению «истинности» и научиться эффективно проверять «истинность» достаточно сложных утверждений, практически необходимо ввести формальный язык (в данном случае язык теории вещественных чисел). Это — математический объект, и теорема 1.10 в точной формулировке будет утверждением об этом объекте, а вовсе не об R и не от R.
Связь этого языка с R осуществляется через систему неформальных рецептов, которые позволяют переводить на этот язык обычные неформальные тексты об R, и через систему теорем, которые служат аргументами в пользу возможности адеквантности такого перевода.
Роль R сведется к вспомогательной конструкции, которая используется для определения и вычисления специальной функции «истинности» на формулах языка.
Таково место логики в изложенной программе.
1.12. Подробное доказательство теоремы 1.9 было бы достаточно длинным и нетривиальным по нескольким причинам. Прежде всего, описание формального языка и аксиом R в нем само по себе не может быть слишком коротким. Затем потребуется проверка «истинности» всех аксиом и не «истинности» КГ, в общей сложности одна-две дюжины проверок, каждая из которых является индуктивным вычислением с бесконечными суммами и произведениями внутри булевой алгебры измеримых множеств в ‘Q1. Самые серьезные трудности, однако, связаны с тем, что смысл всех утверждений об R в R сильно меняется, и не всегда в удобную сторону.