Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
108
1.2. Теорема (Кантор, Шредер, Бернштейн, Цермело).
а) Любые два множества сравнимы. Если card M^card JV и card iV^card M одновременно, то card M=card N. Коротко: мощности линейно упорядочены.
• б) Пусть ?Р(М)—множество всех частей (подмножеств) М. Тогда card ?Р(М) >card М. В частности, самой большой мощности не существует.
в) В любом классе мощностей существует наименьшая. Коротко-. мощности вполне упорядочены.
Доказательство, а) Пусть М равномощно части M'siV и N равномощно части Отождествим М с М'. Мы полу-
чим три множества iVisMsJV и взаимно-однозначное отображение: f: N—кА/\. Построить же нужно взаимно-однозначное отображение g : N—>-М. Вот его явное описание:
^| f (х), если же х (Е Г (iV)\r (М) для некоторого /г5&0,
^ (х в противном случае.
Здесь fa(y) = f (f... f(y)-) (п раз); Г (N) = (f* (у)\у G N}.
Проверка свойств / оставляется читателю.
Для доказательства сравнимости любых двух множеств достаточно установить, что любое множество может быть вполне упорядочено, сравнимость вполне упорядоченных множеств следует из леммы 5 приложения к гл. II.
? Пусть М — некоторое множество. Для каждого непустого подмножества N с М выберем некоторый его элемент с (N)]&N. Полное упорядочение < подмножества М'CLM назовем допустимым.
(относительно с), если с (М\Х) = Х для всех Х^М', где %= = {У | У?М', У <Х}
Если М'ФМ" — подмножества М, на которых есть допустимые полные упорядочения, то одно из них является начальным сегментом второго и упорядочения согласования.
Действительно, как в п. 7а;Приложения доказывается, что канонический изоморфизм f, скажем, М' с начальным сегментом М", есть тождественное вложение: если f (X) ф X и X наименьший
с таким свойством, то f(%) = X, Х=с (М\%)^> Х= с (М\f(X))-= — f (X) — противоречие.
Теперь легко устанавливается, что объединение М' всех подмножеств М, имеющих допустимое относительно с упорядочение, само допустимо упорядочено и совпадает с М, так как иначе его можно было бы вложить в М' (J {c(Af\vV/')}. j Отсюда, в частности, следует, что любое множество равномощно некоторому ординалу и, значит, единственному кардиналу. Это оправдывает обозначение card для мощности и употребление кар-
109
диналов в качестве стандартной шкалы мощностей (приложение, п. 11).
б) Так как ?р(М) содержит все одноэлементные подмножества М, card ^(M)^cardМ. Кроме того, никакое отображение f:M—>-—у^(М) не может быть взаимно-однозначным (или даже отобра-жением на). Действительно, положим
К={г\гф1(г)}^^{Щ
и покажем, что N не лежит в образе f. Предположение о существовании п^М такого, что N=f(ti), немедленно приводится к противоречию, если рассмотреть положение п относительно N:
Nz$>n(E:f (n)^n^N по определению N; кфЫ n$.f (n.)=$n(=N по определению N.
Это — знаменитый «диагональный процесс» Кантора.
в) Полная упорядоченность мощностей устанавливается одновременно со сравнимостью на первых шагах теории ординалов (см. приложение к гл. II).
1.3. Замечание. Приведенное доказательство леммы о возможности вполне упорядочить любое множество по существу принадлежит Цермело. Оно было, вероятно, самым серьезным поводом к жестокой критике аксиомы выбора. Действительно, стоящие за ним интуитивные представления сводятся к рецепту: выбирать один элемент множества М за другим, пока все М не будет исчерпано. В таком виде «физическая» немыслимость предписания бросается в глаза, и все доказательство многим современникам представлялось не более чем фокусом. Предложение выбрать «сначала» по элементу c(N) в каждом подмножестве N^M вызвало, например, следующее возражение Лебега. Если отобранные нами элементы не отмечены никакими специальными свойствами, то как мы можем быть уверены, что в процессе всего рассуждения продолжаем думать об одних и тех же элементах?
За исключением специалистов в основаниях, работающие математики сегодня почти не склонны воспринимать эти сомнения.
Поставим теперь основную задачу, которой мы будем заниматься в этой главе. Будем писать card^’(M) = 2card м , по аналогии с конечным случаем. Континуум — это 2Ш°.
1.4. Проблема континуума.
Каково место континуума на шкале мощностей?
По теореме 1.26 2Ш*^ со0. Поэтому во всяком случае 2“°5г т,.
Если же 2“>0,>а>1, >аэ2, ..., >ю„, ДЛЯ Любого П, ТО , ибо KOH-
тинуум не может быть объединением счетного множества подмножеств меньшей мощности (Кениг) .
110
1.5. Гипотеза континуума (КГ): 2“'> = а>1. Обобщенная гипотеза
card Af
континуума утверждает, что 2 непосредственно следует за card М для любого бесконечного М. Вот почти все наши знания об этом.
1.6. Теорема.
а) Отрицание гипотезы континуума нельзя вывести из остальных аксиом теории множеств, если они непротиворечивы {Гедель).
б) Гипотезу континуума нельзя вывести из остальных аксиом-теории множеств, если они непротиворечивы (Коэн).
То же верно для обобщенной гипотезы континуума.
Если принять, что аксиомы теории множеств и логические средства вывода в языке LiSet, подразумеваемые в формулировке, фактически исчерпывают доказательный аппарат современной математики, можно сказать, что континуум-проблема представляет собой пример абсолютно неразрешимой задачи. Хотя теорема Геделя о неполноте доставляет конкретные примеры неразрешимых суждений в любой формальной системе с разумными свойствами, эти примеры разрешаются «очевидным» образом в некоторой высшей системе. Положение с континуум-проблемой выглядит гораздо труднее. Если согласиться, что она осмысленна, ее решение может быть достигнуто лишь введением нового принципа доказательств. Хотя разные возможности этого обсуждались, предложенные новые аксиомы теории множеств не кажутся ни достаточно убедительными, ни, главное, достаточно эффективными в «большой» математике. За сто лет после введения трансфинитной индукции ни один новый метод конструкции множеств не вошел в обращение. Между тем идея доказательства теоремы Геделя 1.6. а) именно и состоит в проверке того, что все старые методы позволяют построить не более чем <oi подмножеств в натуральном ряде (или вещественных чисел).
