Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
3. Современный уровень наших знаний о большой теореме Ферма таков. Пусть р — простое число. Оно называется регуляр-
55
ным, если оно не делит числитель ни одного из чисел Бернулли
п ___ 1 П _________1_ п
°г— 0 » 4 зд > ••• • р-з'
Для регулярных показателей р теорему Ферма доказал Кум-мер. Для нерегулярных р имеется иерархия критериев истинности утверждения Ферма, сводящихся к проверке того, что не имеют места некоторые делимости; если они имеют место, следует пробовать другие делимости и т. д. Проверка критериев для каждого р требует большого счета на ЭВМ; по сводке 1955 г. она была с успехом проведена для всех р<4002 [32] *.
Обозначим через и(х) отношение числа иррегулярных простых к числу регулярных. Куммер предположил, ЧТО V(х)—<-1/2 при х—>-оо. Зигель [34] считает более правдоподобным значение предела Уе—1, приводит в его пользу вероятностные аргументы и сравнивает с данными Селфриджа— Николя — Вандивера, обсуждение которых заключает неожиданной фразой: «Кроме того, следует принять во внимание, что приведенные выше числовые значения функции и (я) получены с помощью вычислительных машин и поэтому, строго говоря, не могут считаться доказанными»?
4. Точку зрения Зигеля можно объяснить естественной реакцией на информацию, полученную из вторых рук. Ниже следуют обширные выдержки из статьи профессионального математика и опытного программиста [33],, посвященной следующей задаче.
Пусть Ьи 12, Ь3— три однородные линейные формы от трех переменных с вещественными коэффициентами и определителем А. Предположим, что нижняя грань IZ.1Z.2L3I на ненулевых целых точках (исключая начало) равна 1. Что можно сказать о таких значениях А?
Задача для двух форм от двух переменных была в значительной мере решена А. А. Марковым: значения А < 3 составляют счетное множество (]/9 — 4[п2\п— 1, 2, 5, 13, 29,...}. Здесь п пробегает явно описываемую вычислимую последовательность целых чисел.
Для трех форм Давенпорт (1943) доказал, что А=7, или Д=9, или Д>9,1. X. П. Ф. Суиннертон-Дайер в цитируемой статье [33] вычисляет все значения А^17 в предположении, что их конечное число, и дает их список: третье равно У148, последнее (восемнадцатое) ]/2597/9. Обсуждая этот результат, он приводит очень интересное свидетельство: «Если некоторая теорема была доказана с помощью ЭВМ, оказывается немыслимым так изложить ее доказательство, чтобы оно удовлетворяло обычному требованию — дать возможность достаточно терпеливому читателю проработать его и увериться в его правильности. Даже распечатка всех про-
* К настоящему времени с помощью ЭВМ теорема Ферма доказана для всех р< 125 ООО. {Прим. ред.)
56
грамм и входных данных (в нашем случае они заняли бы страниц сорок весьма скучного чтения) не может гарантировать, что при реальном счете перфокарты не были ошибочно пробиты или ошибочно считаны. Сверх того, у любого современного компьютера имеются скрытые пороки в глухих закоулках программ и электроники,—столь редко приводящие к ошибкам, что они остаются не замеченными годами, — и любой компьютер подвержен случайным сбоям. Как ни редки такие ошибки, некоторые из них могли случиться в ходе вычислений, о которых мы сообщаем в этой статье».
Положительные аргументы также весьма любопытны:
«Однако, суть наших расчетов состоит в поисках всего нескольких иголок в шестимерном стоге сена, и почти весь поиск ведется в тех частях стога, где иголок на самом деле нет. Поэтому ошибки в этих областях не повлияют на конечный результат... я думаю, что список дискриминантов Д^17 полон, и немыслимо, чтобы мы пропустили бесконечно много допустимых значений ^ 17».
Заключение: «Тем не менее, единственный способ проверить эти результаты (если они того заслуживают) — атаковать их независимо, написав другую программу для другой машины. Точно такова же ситуация в большинстве экспериментальных наук».
Отметим, что обработка и отчасти хранение больших массивов оперативной информации вообще вне человеческого мозга приводит к все яснее осознаваемым социальным проблемам, выходящим далеко за пределы вопросов о достоверности математических выводов.
5. Наконец, процитируем впечатление от механических доказательств, даже проводимых вручную, которое приходилось испытать многим.
Сформулировав некоторое предложение о том, что „функция Тт 0 определена корректно“, сильный и активно работающий мате-
До
матик Д. Мамфорд пишет [35, с. 230]: «Это предложение устанавливается с помощью чудовищно длинных, хотя совершенно бесхитростных выкладок. Проведя их до конца во всех деталях, я затратил несколько часов, но не стал умнее, а лишь уверился в правильности определения. Поэтому здесь я опущу подробности».
Мораль: хорошее доказательство — это рассуждение, которое делает нас умнее.
5. ТАВТОЛОГИИ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
5.1. Предложение.
Можно указать конечный список базисных тавтологий — логических многочленов от трех аргументов Р, <3, Я со следующим свойством.
57
Пусть I — любой язык класса 3*и 2Г — множество всех формул Ь, которые получаются из базисных тавтологий подстановкой вместо Р, (2, Я всевозможных формул языка. Тогда любая тавтология в Ь выводима из ЗГ с применением только правила МР.
