Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
ЯУр (У) А ХХЧУ (р (х) А р(У)~* Х=У)-
Таким образом, эта формула читается «существует единственный объект у со свойством Р», если подразумевать, что = интерпретируется как равенство.
Если в Р входят свободно другие переменные, -кроме у, истинность формулы 3\уР(у) означает, что Р задает у как «неявную функцию» от этих остальных переменных.
Теперь мы можем написать аксиомы подстановки. Ниже в формуле Р отмечены все переменные, входящие в Р свободно:
уг,... уг„уц (Vх С* е и — Э! Ур (?*» У’ г1> »2п)) —• Э«УуУ (у ?
?»*-? Ях (х&и/\Р (х, у, г,,..., г„)))).
4*
51
Посылка читается так; «Р задает у как функцию от хеи при любых значениях параметров г\, ..., гп», заключение; «обзор любого множества и относительно этой функции является некоторым множеством ш».
Для нужд формальной теории полезно отметить, что из' этой аксиомы и аксиом равенства выводимы так называемые'формулы выделения:
уг,... уг„ухз у (и^у^-+и<Ех /\Р(и, г,, ... , г„)),
т. е. «если класс множеств и, обладающих свойством Р, пересечь с множествам х, то получится множество».
Аксиома подстановки требует, очень пристального рассмотрения. Она выходит за пределы привычных (и потому рассматриваемых как интуитивно очевидные) рабочих инструментов тополога и аналиста. Действительно, она утверждает, что, скажем, любой ординал а нельзя «растянуть» посредством некоторой функции /' -слишком далеко; как ни выбрать /, найдется такой ординал р, что все значения !(у), у^а, будут лежать в Ур, т. е. бесконечность универсума V несравненно больше, чем бесконечность любого его этажа Уа.
Даже если принять эту аксиому; очень близкие к ней по стилю вопросы, остаются интуитивно не постигаемыми и не разрешимыми с помощью нее и остальных аксиом. Например, существуют ли так называемые недостижимые кардиналы у?
Одно из свойств недостижимого кардинала у таково; если } —
функция из V в V (с а<Гу), то множество ее значений является ® т
элементом V,.. В частности, есть «верхняя граница», за пределы которой не могут быть растянуты ординалы, не превосходящие у.
Существуют такие бесконечности или нет?
Размышления над этими и подобными проблемами бесконечности привели многих специалистов по основаниям математики к убеждению, что язык теории множеств типа Ь!3е{ и та или иная система аксиом в нем — единственная реальность, с которой следует работать, а попытки придать смысл универсуму V или аналогичным моделям принципиально обречены на неудачу. В частности, множество истинных в стандартной интерпретации формул ЦЭе! не определено, и можно говорить лишь о формулах, выводимых из аксиом.
Мы не будем принимать эту точку зрения полностью по ряду причин. Простейшая из них состоит в ощущении того, что язык без интерпретации не только лишен внутреннего оправдания, но и не может быть использован ни для чего. Даже в «формальную игру» с символами мы играем хорошо, только руководствуясь интуитивными представлениями о смысле этих символов. Язык
52
(вместе с внешним миром) помогает упорядочивать и уточнять такие представления, что, в свою очередь, заставляет менять язык или переоценивать прежние лингвистические конструкции. Но ни 3 какой момент мы не можем считать, что достигли полной ясности.
Последовательное самоограничение заслуживает понимания. Однако интеллектуальный аскетизм (как все иные виды аскетизма) не может быть уделом многих.
в) Аксиома выбора: их{—1-^=0—* 3 У {» У — функция с областью определения х‘Д Д ун(«ел:Д~1ц=:0 »(«. ®)еу“)))).
т. е. у выбирает по одному элементу из каждого непустого элемента
Вера в истинность этой аксиомы в V представляется'по крайней мере столь же обоснованной, как вера в существование самого V. За прошедшие полвека она стала привычной для любого работающего математика, и бурные споры начала века вокруг нее сейчас почти не воспринимаются. Мы отсылаем заинтересованного читателя к книге А. Френкеля и И. Бар-Хиллела [17, гл. Н]|.
4.10. Общие свойства аксиом. При всем разнообразии связанных с аксиомами представлений, каждое описанное нами множество аксиом в языках 3?\ (тавтологии; АхЬ; специальные аксиомы в ЦАг и Ь^е!) обладает следующими неформальными синтаксическими характеристиками:
а) можно указать алгоритм, распознающий по данному выражению, является ли оно аксиомой (ср. синтаксический анализ в § 1 и проверки тавтологичности в п. 3.4);
б) можно указать конечное число правил порождения аксиом.
Ясно, что априори свойство б) менее ограничительно, чем а).
Действительно, распознающий алгоритм можно превратить в правило порождения: «выписывай подряд в словарном порядке все выражения и оставляй только те, для которых алгоритм дает положительный ответ».
В действительности, естественно считать, что свойство а) должно быть присуще аксиомам, а б) —выводимым формулам, какое бы явное описание тех и других в конкретном языке ни принять. В гл. III эти интуитивные представления будут оформлены в виде точных определений и будет показано, что б) строго слабее а). Ср. также обсуждение в п. И.бв этой главы.
Отступление о доказательстве
1. Доказательство становится таковым только в результате социального акта «‘принятия доказательства».
