Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Манин Ю.И. -> "Доказуемое и недоказуемое " -> 21

Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.

Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое — Советское радио , 1979. — 89 c.
Скачать (прямая ссылка): dokazuemoinedokazu1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 70 >> Следующая

б) Аксиомы индукции — это счетное множество формул Т^Аг: принято говорить, что запись предложения 4.7д есть схема аксиом.
Формулировка соответствующего факта в интуитивной математике таково: «для каждого свойства целых чисел Р, если 0 обладает Р и если из того, что х обладает Р, следует, что х+ 1 обладает Р, то все целые числа обладают Р». Здесь «свойство целых чисел» — то же самое, что «произвольное подмножество целых чисел».
Однако в выразительных средствах ЦАг нет 'способа сказать «любое подмножество». Нет также способа назвать «все свойства» — можно лишь перечислить по очереди те свойства, которые выразимы формулами языка. Еще раз напомним, что их всего счетное множество, тогда как в интуитивной интерпретации подразумевается континуум свойств. Таким образом, формальная аксиома индукции слабее неформальной, а также слабее того ее варианта, который получится при погружении ЦАг в ЦвеТ
Специальные аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля (см. описание V в приложении к гл. II)
4.8. Предложение.
Следующие формулы истинны в стандартной интерпретации языка LlSet в универсуме фон Неймана V:
а) аксиома пустого множества: ух ! (х 0);
б) аксиома объемности-. у г (г е -к«—? г у) «--*? х—у;
в) аксиома пары:
уыу шд х у 2 (д ^ я-<--+г=ы V г = !
г) аксиома суммы:
ухдууи (дг(а?гЛгех)^«е^);
д) аксиома степени: ухдг/уг (г С х <--> г 0 у),
где г ах — сокращенная запись формулы уи(и?г-*и?х);
е) аксиома регулярности:
ух (~I х = 0 — дг/ (у е х Д у П х = 0)),
где у Р) х = 0—сокращенная запись для 1дг(г0у Д г^х).
Доказательство и объяснения. Это — неполный список аксиом Цермело — Френкеля, более тонкие аксиомы бесконеч-
4—1
49»
II
I
ност.и, подстановки, а также выбора будут обсуждены в следую- . щем пункте. . -I
Доказательства истинности должны, конечно, состоять в вы-.^ числении функции | | но описанным в и. 2.4 и 2.5 правилам. ‘ Проверим так, скажем, истинность аксиомы объемности. Пусть; I — любая точка интерпретационного класса, Х= х^, У = уЕ. Тогда мы должны установить, что ;
т. е., что
тт{\К?Х\\2^У\-{-{\-\г^Х\){\-\1(?У\)) = \Х=У\,
где мы пишем \Z0iX] вместо |г?^|(^) с = Х, х^'—Х и т.п. Но левая часть равна 1 в том и только том случае, когда для каждого 10 V либо одновременно Х(=Х и 1 У, либо одновре-; менно 1^Х и 2У, т. е. когда X — У.
Более общо, заменяя здесь V на любой подкласс М^У и ограничивая стандартную интерпретацию еб на М, находим из того же вычисления: аксиома объемности истинна в М, если и только если для любых элементов X, У^М имеем Х—У<^^>Х0М =У(~)М, т. е. если каждый элемент М однозначно определяется теми своими элементами, которые лежат в М.
Мы воспользуемся этим результатом позже.
Аналогичные вычисления для всех остальных аксиом систематически проведены в гораздо более трудной ситуации в гл. III. Поэтому ниже мы ограничимся переводом их на арго, как в гл. I, и пояснениями относительно их выполнимости в V.
а) Аксиома пустого множества не нуждается в комментариях. Заметим лишь, что при интерпретации Ь^Бе! в подклассе МеУ константу 0 можно было бы интерпретировать любым элементом ХеМ со свойством Х0М — 0, не нарушив истинности этой аксиомы.
в) Аксиома пары истинна, потому что если С/, 1У 0 Уа> то {?/, З5 (Уа) = Уа+1, так чт0 пары лежат в V.
г) Аксиома суммы истинна, потому что если X (Д V, то множество У= И 2 тоже лежит в V. Действительно, если X .1 =
г<=х
— & (Уа). то элементы X суть подможества Ул и их объединение также лежит в Уа+1.
д) Аксиома степени истинна, потому что, если Х0У, то УР (Х)??У. Действительно, если XЕ;Уа> то Хс.Уа и, значит, 3* (Х)03ь (Уа) =
= Ув+1, так что ^(АГ)е^а+2.
50
е) Аксиома регулярности истинна, потому что любое непустое множество ХеР имеет пустое пересечение с некоторым своим элементом, и в таком виде она доказана в приложении к гл. II «Универсум фон Неймана».
4.9. Собранные в п. 4.8 аксиомы языка ЦЗе! объединены одним общим свойством: в 'стандартной интерпретации их простейшей моделью служит 'В ТОЧНОСТИ объединение (1)0 первых этажей
СО
А = и У п универсума фон Неймана. Иными словами, это-—
л=0
множество транзитивно конечных множеств АеУ, таких, что если Хп^Х„_1е . . . ^Хо = Х, ТО все Хг конечны.
УШо —надежный мир комбинаторики и теории чисел; нужны дальнейшие принципы, чтобы выйти за его пределы. Их два: аксиома бесконечности и схема аксиом подстановки.
а) Аксиома бесконечности-.
д*(0 е*ЛуУ(У^х-*{у}^х)).
Здесь {у}<Е:Х есть сокращение для дг(г —{у, у) /\г??х), сокращение г—{у, у) объяснено в п.3.7 гл. I. Эта аксиома заставляет нас добавить к V какое-нибудь множество, содержащее элементы 0, {0}, {{0}},... (в счетном количестве). После этого для обеспечения истинности аксиомы степени в ее содержательном варианте придется добавлять &(Х), &2{Х), ..., безнадежно уходя за пределы конечных, счетных, континуальных... множеств.
Поразительно, что в формальном варианте теории множеств это не так, и мы всегда можем ограничиться транзитивно-счетными подмоделями V. Это важное обстоятельство будет подробно обсуждено ниже, в § 7.
б) Схема аксиом подстановки. Введем следующую удобную сокращенную запись (в любом языке класса 2В\ с равенством): З! У? (У)> которая означает
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed