Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение доказано.
Отступление об естественной логике
1. Предметом логики не является внешний мир, но лишь системы его осмысления. Логика одной из таких систем — математики— в силу своей нормализованное-™ представляет подобие жесткого трафарета, который можно накладывать на любую другую систему. Соответствие или расхождение этого трафарета с системой, однако, не служит критерием ее пригодности либо мерилом ценности. Физик не обязан быть ни последовательным, ни непротиворечивым — он должен эффективно описывать природу на
39
определенных уровнях. Тем менее логичны естественные языки и непосредственная работа сознания. Вообще логичность как условие эффективности появляется лишь в узко специализированных сферах человеческой деятельности.
Не имея нормативной силы, сравнение логики предикатов с логикой естественных языков или их подсистем может ' оказаться интересным и поучительным. Ниже приведены избранные данные лингвистики и психологии.
2. Б. Расселл, К. Дёман, Рейханбах, У. Вейнрейх и многие другие занимались выявлением в естественных языках категорий, которые формализованы в языках класса 3?\ и каталогизацией способов их передачи.
Это приводит к разбиению слов на так называемые логико-семантические классы вместо традиционного деления на глаголы, имена, артикли и т. д. (А. В. Гладкий, И. А. Мельчук [24, § 6]).
Например, слова спать, умный, плакса параллельны символам отношений (предикатам) ранга 1, слова любить, приятный,' сестра —отношения ранга 2. Им отвечают атомарные формулы «N спит», «А приятен Y» и т. п.
Все, иногда, нечто суть кванторные слова, и, или, но, если,..
,. .то, — конечно, связки.
«The nose, le cadeau» суть константы «этот нос, этот подарок». Эффект константности достигается с использованием семантики определенного артикля. В русском языке «нос, подарок» суть скорее переменные для обозначения предметов, удовлетворяющих одноместному предикату «быть носом», «быть подарком». Возможны, впрочем, и другие толкования.
Местоимение «он», несомненно, является переменной. Местоимения я и ты имеют гораздо более сложную семантику, соотносясь с высказывающимся лицом, которое не выражено в безличных языках SB\. Некоторые из аспектов местоимения первого лица включены в семантику алгоритмических языков. «Ключ памяти» надлежащего вида в программе для IBM-360 открывает программе возможность изменить содержимое какого-либо байта в блоке основной памяти. Защита памяти спрашивает: «Кто там?», и программа отвечает: «Это я». Наконец, уже в языках 3?\ удается смоделировать некоторые эффекты самоолисания (см. §§ 9—11 и последующее отступление об аутореферентности).
Или в русском языке выражает не только логическое V* но также строгую дизъюнкцию и даже по ощущению лингвистов, / иногда конъюнкцию Д, например во фразе «х2>0 при х<0 или при х>0» (Е. В. Падучева). В латыни функции разделительного и неразделительного «или» выражаются разными словами aut, vel. «И» может выражать временную последовательность: ср. фразу «Джейн вышла замуж и родила ребенка» с «Джейн родила ребенка и вышла замуж» (С. Клини).
40
Конъюнкция Л в разных языках может выражаться:
соположением: ма мо (кит.) —лошадь и осел; shika kitabu
usome (суахили)—возьми книгу (и) читай; предлогом: Петя с Машей; союзом: и, and, et;
постпозитивной частицей: que (лат.)—senatus populusque—
сенат и народ;
парным союзом: как ... так и
К. Дёман каталогизировал способы выражения 16 логических многочленов от двух переменных во многих языках мира.
3. При всей любопытности собранного материала, его следует воспринимать критически: тонкости употребления при сравнении с логикой часто ускользают. Разберем в качестве примера естественную семантику связки «если .. . то».
Мы уже отмечали, что в языках 9?\ ей соответствует не только «->-», .но также правило вывода МР. Более того, МР является более адекватным представителем для «если. ..то».
В самом деле, правило приписывания истинности любому импликативному высказыванию с заведомо сложной посылкой почти не имеет параллелей в естественной логике. Кочующие по учебникам примеры типа «если снег черен, то 2X2=5» способны лишь дезориентировать, ибо выражения с такой семантикой не реализуются ни в одной естественной подсистеме языка. Исключением могут быть поэтические и экспрессивные формулы с крайне ограниченной сферой употребления («если Она неверна, то весь мир лжив»). Формальная математика, в которой одно -противоречие разрушает всю систему, безусловно, имеет черты гиперэкспрессивности.
Наконец, в логике -предикатов -совершенно не отражен модельный аспект употребления «если..то» в -предписаниях типа «если это произойдет, то поступайте так-то». Зато он хорошо выражен в семантике связки «И ... then ... else...» в алгоритмических языках типа Алгола. Попытки моделировать модальность в языках, построенных по образцу S?\, без учета опыта алгоритмических языков приводят к явным неудачам (ср. А. А. Ивин [25],).
4. Неоднократно отмечалось, что -выбор примитивных средств выражения в логике предикатов не отражает психологической реальности. Элементарные логические операции, -одношаговые выводы требуют весьма тренированного интеллекта; напротив, логически сложные действия могут совершаться как почти элементарные целостные акты даже поврежденным сознанием.
