Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые из приводимых ниже рассуждений имеют силу не только для полного языка 1-й ступени, но и для некоторых его частей.
Совокупность формул 1-й ступени Г условимся называть классом формул, если, изменяя наименования свободных и связанных предметных переменных (см. п. 6.2) в какой-то формуле класса Г (Г-формуле), получим снова формулу из Г.
Алгебраическая система St сигнатуры Q называется Y-неотличимой от алгебраической системы 35, если 95 имеет сигнатуру Q и каждая закрытая Г-формула сигнатуры Q, истинная на St, истинна и на 35. Символически Г-неотличимость St от 95 обозначается через St й г35.
Совокупность всех закрытых Г-формул сигнатуры ?2, истинных в алгебраической системе її сигнатуры Q, называется T-теорией St и обозначается через Г (Si). Поэтому, если алгебраические системы St и 35 имеют одну и ту же сигнатуру, то Г-неотличимость St от 35 равносильна включению Г (Si) S Г (35). § 9 ] НЕОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЯШМобТЬ 23?
Алгебраические системы ST, 53 называются T-эквивалентными (символически Sf =г35), если T (?) = T (35), Из определений видно, что для любого класса формул Г отношение рефлексивно и транзитивно, а отношение еег рефлексивно, транзитивно и симметрично. Также ясно, что если Г s Г*, то
81 <г* 35 2t ^r 35, Sts=r*S8^St=r35. (1)
Совокупность всех формул 1-й ступени обозначается через Е. Очевидно, что понятия Е-неотличимости и Е-экви-валентности равносильны введенному выше понятию элементарной эквивалентности алгебраических систем. Из соотношений (1) вытекает, что теорема 1 остается верной и для Г-эквивалентностей.
Ясно, что если класс формул Г удовлетворяет условию: і) для каждой формулы Jb Є Г в T существует формула, равносильная H Jb,
то отношения Siir и =г становятся равносильными. В частности, отношение элементарной неотличимости равносильно отношению элементарной эквивалентности.
Рассмотрим алгебраические системы 81, 35 какой-то фиксированной сигнатуры й. Отображение о: St ->- 35 называется Г-вложением St в 35, если для произвольной Г-формулы Jb (X1, . . ., хп) со свободными предметными переменными X1, . . ., хп, имеющей сигнатуру й,
Jb(ab ..., ап) = M=^Jbia1G, апо) = И а »
для любых йь . . ., ап из St.
Подмодель (в частности, подсистема) St алгебраической системы 35 называется Г -элементарной подмоделью или, короче, Т-подмоделъю в 35 (символически St Cr 35), если тождественное отображение аа = а {а ? St) является Г-вложением St в 35. Система St Т-вложима в 35, если существует Г-вложение St в 35.
Сравнивая определения Г-вложимости и Г-неотличи-мости, непосредственно получаем
Следствие 2. Из Г -вложимости St в 35 вытекает T-неотличимость St от 33. В частности,
StcrSB=^St ^r 35
для любых Т, St, 35. 238 ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
Из указанных выше определений также непосредственно получается и
Следствие 3. Если а: 21 95 и р: 95-*-© есть T-вложения, то отображение (Тр: Sf —© — также T-вложение. В частности,
21 Cr 25. 95<г© =5- 21<г©.
Если класс формул Г удовлетворяет условию і) и отображения ар: 21—> р: SS —> © являются T-вложениями, то отображение а: 21 —> 95 также является T-вложением. В частности, предполагая выполненным условие і), имеем 21 = 95, Kr®, 95 <г © =ф 21<г95
для любых алгебраических систем 21, 95,
Простейшую связь между Г-вложениями и изоморфизмами мы сформулируем как
Следствие 4. Если класс Г удовлетворяет требованию:
ii) все атомарные формулы и их отрицания входят в Г, то отображение о: 21 55 тогда и только тогда есть Г -вложение 21 б 95, когда а есть изоморфизм 2Ї на 21ст и 210 Cr 95.
Доказательство очевидно.
Отметим еще, что из условия ii) вытекает, что каждая Т-подмодель 21 алгебраической системы 95 является подмоделью 95.
Е-вложения и Е-подсистемы называются соответственно элементарными вложениями и элементарными подсистемами. Важную роль в их теории играют так называемые канонические вложения алгебраических систем в фильтрованные степени, определяемые следующим образом.
Пусть 21 — произвольная алгебраическая система сигнатуры Qb (I, D) — некоторый фильтр. Каждому a ^ 21 ставим в соответствие постоянную функцию ta Є 2tJ, определенную соотношением
ta(a) = a (a ?/).
Отображение
є: а —taD
называется каноническим вложением 21 в 211ID. Если a, be 21, афЬ, то
{a?/| f«(a) = ib(a)} = 04?> § 9І ЯЁОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЁМЕНТАРНАЯ ВЛОнШМОСТЬ 239
и, следовательно, ае Ф be. Иначе говоря, є является взаимно однозначным отображением 2Ї в WID. Так как для любого re-арного предиката PQ Q и любых аь . .., ап из 2Ї
P(taiD, ..., tanD) = И {aQl\P(au ..., an) = H}QD,
то
P (аи ..., ап) = И <=> P (ate, .. ., апе) = И,
т. е. каноническое отображение е является изоморфизмом системы И на подсистему STe системы WID. Поэтому систему a часто отождествляют с її8 (п. 2.3) и считают 21 подсистемой системы 211SD, если это не вызывает неясностей.
Для каких классов формул T и каких фильтров D каноническое отображение 21 в 211ID является Г-вло-жением?
Из теоремы 1 (п. 8.4) об условной фильтруемости хор-новских формул следует, что для любого фильтра (I, D) каноническое вложение 21 в 2[1ID является й-фложением, где h — совокупность всех хорновских формул. Однако для дальнейшего главное значение имеет непосредственно вытекающее из основной теоремы об ультрапроизведениях
