Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г 6 Th(^i 2) ^YeTh(S).
Если YeTh(S), то, конечно, ГєТ1і(<%й). Пусть Г 6 Th (^tf й), a Y^Th(S). Тогда найдутся в = = {S(I), Q1)6S и такие попарно непересекающиеся х0,..., хт, объединение которых ЄСТЬ I, ЧТО Xj =0 для "j^t и 98 (х0, .. хт) ложно в <&. Для a?/ выберем такое xj, что а ? xj, и в качестве SIct выберем такую систему из Й, в которой Aj истинно. Так как то это сделать можно.
Ясно, что ІТІ8?™'0^ =Xj. Поэтому Г ложна в CptsSIct (а?7), что противоречит выбору Г.
Примеры и дополнения
1. Ассоциативный закон для декартовых произведений (п. 2.5) принимает следующий вид для фильтрованных произведений.
Пусть {/ft. 1 к ? К)—разбиение множества индексов /, и пусть над каждым Jk задан фильтр Dk и над К — фильтр D*. Тогда 234
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ [Гл. IV
семейство
D^lXC= I\{к?К\Х[) Jh?Dk}tD*} является фильтром над /, и для любых Sta (а? /)
U <&JD = П ( П ^/Dk)/D* aEI KK аBJh
(см. Фрейн, Морел и Скотт [66], стр. 202).
2. Если все Slct имеют мощность >пг, то для любого фильтра </, D) I H SIa/D I > т (т—натуральное число).
3. Пусть tn — некоторая бесконечная мощность и | 91 = j / |. Если фильтр </, D) однородный, то | 911 /D | > m (Фрейн, Морел и Скотт [66], стр. 206).
4. Если мощность ш бесконечна и п — наименьший кардинал,
удовлетворяющий неравенству nt <[ 2П, то для любого однородного
фильтра {I, D) из I / I = ті, 11 [ > ш следует j St1 jD | > 2п ([66], стр. 206).
5. Если </, В) —ультрафильтр и | [] SIа/В | < 2No, то JJ SIJD а es 91 і для подходящего і ([66], стр. 208).
6. Если {/, D) — произвольный фильтр и | Ц SlcJ-D | < 2N°, то для подходящего конечного множества / S= /
П VJD = П % № € J)
([66], стр. 210).
7. Для любого кардинального числа Nct фильтр (/, D) называется ка-полным, если для каждого ш < пересечение m множеств из D принадлежит D. В частности, счетно полные фильтры— это Nj-полные фильтры.
Если |9lKtn и (I,. D) есть m-полный ультрафильтр, то SljV-D s 91.
8. Можно ли в теореме 3 из п. 8 опустить в условии требование несчетнополности фильтра?
9. Какие мощности являются мощностями ультрапроизведений по неглавным ультрафильтрам? Существует ли неглавный ультрафильтр </, D), для которого
*0<^AD<2m?
(Фрейн, Морел и Скотт [66], стр. 208).
10. Классы конечных групп, конечных абелевых групп, свободных групп, циклических групп не является аксиоматизируемыми. § 9 ] НЕОТЛИЧИМОСТЬ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ВЛОЯШМобТЬ 23?
§ 9. Неотличимость и элементарная вложимость
Пусть задан какой-то логический язык S и некоторые объекты Si, 35. Говорят, что объекты Si, 85 неразличимы на языке S или Е-эквивалентны, если каждое свойство, формулируемое на языке S и присущее одному из объектов, присуще и другому. Неразличимость объектов зависит от.силы языка. Может случиться, что объекты, неразличимые на бедном языке, будут различимы на более богатом языке. Понятие неразличимости объектов можно распространить и на элементы объектов, рассматривая лишь те'Свойства элементов, которые характеризуют положение элементов внутри данного объекта и формулируются на заданном, языке. В результате уточнения этой идеи возникает важное понятие Е-вложения одного объекта в другой. Если рассматриваемые объекты — алгебраические системы, а язык S — язык 1-й ступени, то указанным путем приходят к понятиям элементарно неразличимых систем и элементарного вложения систем, главные свойства которых и излагаются ниже.
9.1. Элементарные вложения. Алгебраические системы Si, 35 фиксированной сигнатуры Q называются элементарно эквивалентными или неразличимыми (символически SI 35), если каждая закрытая формула 1-й ступени сигнатуры Q, истинная на одной из заданных систем, истинна и на другой. Из абстрактности языка 1-й ступени (п. 6.3) следует, что любые две изоморфные системы неразличимы. Обратное, в общем случае, неверно. Возьмем какую-нибудь бесконечную алгебраическую систему Si, и пусть / — произвольное множество, мощность которого равна или больше | SI |. Согласно теореме 5 из п. 8.5 существует такой ультрафильтр (I, D1), что
|Я7/А|>2и|>|/|.
Таким образом, системы SI и SI1SD1 имеют разные мощности и потому не изоморфны. В то же время они неразличимы. Действительно, если какая-нибудь закрытая формула Jb сигнатуры й истинна в Si, то в силу основной теоремы теории ультрапроизведений Jb истинна 236
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОЛНЫЕ КЛАССЫ
[Гл. IV
и в каждой ультрастепени St 1ZDi. Если формула J ложна в Si, то в St, а следовательно, и в StVDi истинна формула H J, т. е. формула J ложна в SI1ID1. Итак нами получена
Теорема 1. Каждая алгебраическая система SI элементарно эквивалентна любой ее улътрастепени. Если St бесконечна, то существуют системы, элементарно эквивалентные системе St, которые не изоморфны Si.
Ниже будет показано, что каждая алгебраическая система, элементарно эквивалентная конечной системе Si, изоморфна Si.
Напомним, что формула 1-й ступени J называется формулой сигнатуры Q со свободными переменными X1, . . ., хп, если все несвязанные переменные формулы J содержатся в множестве Q IJ {х{, . . ., хп}. Формулу J данной сигнатуры Q со свободными предметными переменными X1, ..., хп обозначаем через J (X1, . . ., хп). Истинное значение формулы J (xt, . . ., хп) в алгебраической системе St сигнатуры Q при заданных значениях X1 = at, ..., хп = ап (at б St) обозначаем через (аи . . ., O71) или просто через J (а{, . . ., ап), если алгебраическая система St заранее фиксирована.
