Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Мальцев А.И. -> "Алгебраические системы" -> 58

Алгебраические системы - Мальцев А.И.

Мальцев А.И. Алгебраические системы — Наука, 1970. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiesistemi1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 133 >> Следующая


Подкласс Й алгебраических систем сигнатуры Q некоторого класса Я называется наследственным в Я, если каждая R-подсистема произвольной й-системы является й-системой. Класс й называется (абсолютно) наследственным, если он наследственен в классе всех алгебраических 176

ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ II ВТОРОЙ СТУПЕНИ [Гл. III

систем заданной сигнатуры, т. е. если каждая подсистема произвольной Й-системы есть й-система.

Ясно, что каждый локально замкнутый подкласс й класса Я является наследственным в К, и потому из теоремы 1 непосредственно вытекает

Следствие 3. Для универсальной аксиоматизируемости какого-нибудь подкласса й в классе Sf необходимо, чтобы й был наследственным в Я.

Однако на примерах легко убедиться, что это условие не является достаточным.

В теореме 1 идет речь об аксиоматизируемости подкласса посредством какой-нибудь вообще бесконечной совокупности V-формул. Очевидными изменениями определений легко получается и соответствующая теорема для аксиоматизируемости й конечной совокупностью V-формул.

V-формулы вида (4), имеющие модельную сигнатуру Qm и содержащие данное число п кванторов, называются V7t-формулами. Если сигнатура ?2 конечна, то число неэквивалентных закрытых VTl-фopмyл также конечно. Поэтому аксиоматизируемость посредством конечного числа V-формул подкласса конечной сигнатуры равносильна аксиоматизируемости этого подкласса системой Уп-формул при каком-то фиксированном п.

Алгебраическая система St называется Уп-вложимой в класс й, если каждое конечное обеднение каждой не более чем й-элементной подмодели из St вложимо в подходящую й-систему. Подкласс й класса Ш называется ^п-замкнутым в Й, если каждая ft-система, VTl-влoжимaя в й, принадлежит St.

Теорема 4. Для того чтобы подкласс й класса Sl был V"-аксиоматизируем в SJ1 необходимо и достаточно, чтобы й был V1-замкнут, в St.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

7.3. V3- и ЗV-фopмyлы. Как уже говорилось, V3-формулой называется формула вида

(Vxi ... хт) (Э Jf1 ... уп) SI (хи ...,хт, уи ...

¦ • - і Ут zI, ¦ • • і zp)i (1)

где St кванторов не содержит, Xi, yj, zk — свободные предметные переменные, встречающиеся в записи St. Формулы КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ

177

этого вида называются также сколемскими формулами или формулами, имеющими нормальный вид Сколема.

Отрицание сколемской формулы эквивалентно формуле вида

• хт

) (V^i ... ^n) 95 (Z1, ..., Xmt Уи • • «

• • • і Уп, Z1, ..., Zp), (2)

т. е. ЗУ-формуле. И обратно, отрицание ЗУ-формулы эквивалентно V 3-формуле.

Спрашивается, не обладают ли сколемские формулы каким-нибудь видом «устойчивости», аналогичным устойчивости V- или 3-формул? Основное структурное свойство ЗУ-формул указывает

Теорема 1. Пусть ЗУ-формула (2) истинна на алгебраической системе 5Ш для некоторых значений переменных Zi, .. ., Zp в и пусть система sJJl покрыта локальной совокупностью (определение см. в п. 2.3) своих подсистем [{5Ша.}- Тогда формула (2) истинна в какой-то подсистеме содержащей элементы Z1, .. ., zp.

Действительно, истинность (2) на SJl означает, что для каких-то элементов X1, ..., хт из SJl формула (Vyi . • • Уп) 95 (Xi, ..,,хт, Уи . .., уп, Z1, ..., zp) истинна. Из локальности покрытия {5Ша} следует, что в этом покрытии найдется подсистема содержащая элементы X1, . .., хт, Z1, ..., Zp. Но для этих элементов указанная формула в SKa истинна. Поэтому в SJia истинна и формула (2) для заданных значений переменных Zi, ..., zp.

Для р = 0 из теоремы 1 получаем: если алгебраическая система 5Ш локально покрыта своими подсистемами ЗЛа и на Ш истинна некоторая замкнутая ЗУ-формула то % истинна хотя бы на одной подсистеме из заданного покрытия.

Простым переходом от ЗУ-формул к их отрицаниям получаем

Следствие 1. Пусть алгебраическая система покрыта локальной совокупностью своих подсистем (SDioc), и пусть У ^-формула (1) истинна для некоторых значений Z1, ..., Zp на каждой подсистеме її)1а, содержащей эти элементы Z1, ..., Zp. Тогда формула (1) для указанных значений Z1, Zp истинна и на системе 2Л.

12 А. И. Мальцев 178

ЯЗЫКИ ПЕРВОЙ II ВТОРОЙ СТУПЕНИ [Гл. III

Действительно, допустим, что формула (1) ложна на SJi. Тогда отрицание ее, имеющее вид (2), истинно на SOi и, значит, по теореме 1, оно должно быть истинно хотя бы на одной подсистеме SJict, содержащей Z1, zp,

что противоречит предположению.

При р = О из следствия 1 получаем такое утверждение: если алгебраическая система SJi есть объединение возрастающей цепочки своих подсистем

SJi1 с= SJi2 с= ... ?= SJift с= ...

и на каждой из этих подсистем истинна некоторая замкнутая V3-формула %, то формула % истинна и на SJi.

В самом деле, совокупность подсистем (SJii} локально покрывает систему SJi и потому к ней применимо следствие 1.

Следствие 2. Существует ЗV-формула (13,-форму-ла), не эквивалентная никакой ЧЗ-формуле (ЗУ-формуле).

Рассмотрим ЗУ-формулу (Зж) (Vy) у < х, утверждающую, что в модели с отношением < существует наибольший элемент х. Рассмотрим модель 3Ji = (iV, <), где N—совокупность всех натуральных чисел, < — обычное отношение порядка. Ее подмодели
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 133 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed