Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Мальцев А.И. -> "Алгебраические системы" -> 57

Алгебраические системы - Мальцев А.И.

Мальцев А.И. Алгебраические системы — Наука, 1970. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiesistemi1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 133 >> Следующая


173

Пусть Stag = (4a, Qg)— какое-нибудь конечное обеднение конечной подмодели алгебраической системы 21=(4, Q). Тогда диаграмма D (21 ag) будет состоять из конечного числа формул. Через Z)A (2?a?) условимся обозначать конъюнкцию всех формул из Z>(2Iap) и через (3§) Z>A (2Iap) будем сокращенно обозначать формулу

(3zai .. .zaJ Da (2Ia?), (2)

где аи . .., as — все элементы 2Ia?. Ясно, что формула (2) тогда и только тогда истинна в какой-нибудь алгебраической системе 95 = {B,Q') (Qg S Q'), когда 95 содержит конечную подмодель (Ba, Q'), Єі^-обеднение которой (Ba, Q6) изоморфно модели 2?ag = <4a, Q6), т. е. когда модель 21 a? ело Жима в модель 95.

В свою очередь отсюда следует, что формула

.(Vzai.... zas) (3)

равносильная отрицанию формулы (2), тогда и только тогда истинна на некотором классе Й алгебраических систем сигнатуры Q' (Q' ^Qg), когда модель 2Iag не вло-жима ни в какую систему класса К.

Введем теперь следующие определения. Будем говорить, что алгебраическая система 2t =(4, Q) локально вложима в систему 95 = (2?, Q1) (Q1^Q), если каждое конечное обеднение (4a, Q6) каждой конечной подмодели системы 2Ї вложимо в 95, т. е. изоморфно Q?-обеднению подходящей конечной подмодели системы 95.

Алгебраическая система 2? называется локально вложи-мой в класс систем К, если каждое конечное обеднение каждой конечной подмодели системы 21 вложимо в подходящую (зависящую от выбранного конечного обеднения) систему класса К. .

Подкласс S алгебраических систем класса й называется локально замкнутым в классе й, если из локальной вложимости произвольной Н-системы в класс S вытекает принадлежность этой системы классу ?. Класс S алгебраических систем сигнатуры Q называется просто локально замкнутым, если ? локально замкнут в классе всех алгебраических систем сигнатуры Q. 1?4 языка первой и Второй стУпеЙи ?гл. IIi

Возвратимся теперь снова к V-формулам. Подкласс S алгебраических систем класса й называется универсально аксиоматизируемым внутри й (или V-подклассом класса й), если существует такая совокупность @ закрытых V-формул сигнатуры Q, что S принадлежат те и только те й-системы, в которых истинны все формулы из

Теорема 1 (Тарский [62], Лось [31]). Для того чтобы подкласс S алгебраических систем класса й сигнатуры Q был универсально аксиоматизируем внутри Й, необходимо и достаточно, чтобы S был локально замкнут в й.

Необходимость. Пусть S состоит из Й-систем, удовлетворяющих системе <© каких-то V-формул заданной сигнатуры ?, и пусть дана некоторая й-система Я, локально вложимая в класс Надо доказать, что каждая формула Ф из S истинна в Si. По условию формула Ф имеет вид

(Vx1 ... Xn) л (ж„ ..хп). (4)

В запись этой формулы входит лишь конечное число символов из Q. Пусть это будут символы P1, ..., Ps. Возьмем какие-нибудь элементы ait ..., ап из SL Надо убедиться, что выражение Jb (а^, ...,ап) истинно в Si. Рассмотрим локальную подмодель

SU=Hb.....ап}, [P1.....Ps))

из системы Si. По условию существует изоморфизм 0 модели Sla? в какую-то S-систему 95. В системе 35 формула (4) истинна и, следовательно,

AialO, ..., апо) = И *).

ю

Согласно п. 6.3

Jb (alt ..., ап) = И <=> Jb iaiO, . .., апо) = И

Эдоср

и потому Ф истинна на Si.

Достаточность. Пусть 2 — локально замкнутый подкласс класса Й. Обозначим через <? совокупность всех

*) Для алгебраической системы 1 и формулы Jt запись Ж == И

означает, что Jt истинна на Щ.— Прим. ред. § 7] КЛАССИФИКАЦИЙ ФОРМУЛ 1?5

закрытых V-формул сигнатуры ?2, истинных в каждой Й-системе. Надо показать, что каждая Я-система St, на которой истинны все формулы из локально вложима в Й (и потому принадлежит й). Пусть это не так, т. е. St содержит какую-то локальную подмодель Sta? = <Aa, Qp), не вложимую ни в одну й-систему. Согласно сделанному выше замечанию в таком случае во всех Й-системах истинна формула (3). Эта формула является V-формулой сигнатуры Q и потому принадлежит совокупности (g>. Следовательно, формула (3) истинна в системе St и, в частности, в St истинна формула ~1 Da (Stag) при Zai = ai, . .., Zan = ап, где Aa = {аи . .., ап}. Но из определения диаграммы виДно, что в St истинна формула Da (Stag) при указанных значениях zai, ..., zan. Получается, что при zaj = = at, . .., Zan = CLn в системе St истинна формула Z)A(Sta?) и ее отрицание, что невозможно.

Для произвольного класса систем Я сигнатуры ?2 через обозначается класс всех моделей соответственной сигнатуры Qm, локально вложимых в SL Если S1— какой-нибудь другой класс систем сигнатуры Q, то й П Lfti есть класс всех тех Я:-систем, которые локально вложимы в Sf1. Из определения локальной вложимости непосредственно видно, что

LLStl = LSti. (5)

Теорема 1 и соотношение (5) влекут за собою важное

Следствие 2. Пусть S, Sj— произвольные классы алгебраических систем одной и той же сигнатуры. Тогда подкласс Й тех Ш-систем, которые локально вложимы в класс SJ1, универсально аксиоматизируем внутри класса Я.

Действительно, если какая-нибудь Н-система St локально вложима в класс й, то в силу (5) система St локально вложима и в класс S1. Отсюда следует, что St Є й, и потому подкласс й локально замкнут в Ш.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 133 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed