Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Мальцев А.И. -> "Алгебраические системы" -> 44

Алгебраические системы - Мальцев А.И.

Мальцев А.И. Алгебраические системы — Наука, 1970. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiesistemi1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 133 >> Следующая


^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ

ІГл. II

а верхней гранью — их произведение HiH2, состоящее из элементов вида UJfi2, где Iii Q Hi, Ji2 Q H2. Поэтому модулярный закон для нормальных делителей сводится к равенству

H1 П [(Hi П //2)Я3] = (H1 n Ih) (Hi n H3).

Пусть X — элемент, входящий в левую часть. Тогда XQHi, X = Wi3, где h Q HiClH2, h3 Q H3. Отсюда Jis = Ii-1XQHi, h3 Q Hi^H3, и, следовательно, Jih3 Q Q(H1ClH2) (HiClH3). Обратно, если х принадлежит правой части, то X = Jt2Jtз, где Ji2 QHi f] H2, h3 QHi f| H3, откуда X Q Hi и поэтому X входит в ле-; вую часть.

OHa диаграмме 2 изображена немодулярная решетка с наименьшим числом элементов. Легко доказывается, что такую подрешетку содержит каждая немодулярная решетка.

Из модулярного закона (1) следует тождество

(а + b) {а + с) = а + (а + Ь) с. (3) О Действительно,

Диаграмма 2. (а + Ъ) (а + с) = (а + Ъ) ^a + b) а + с) = = (а + Ъ) а + (a -f- Ъ) с = а + (а + Ъ) с.

Обратно, из (3) следует модулярный закон.

Аналогично дистрибутивный закон (2) равносилен закону

(а + Ъ) (a -f с) — а + Ъс.

Решетка SI называется решеткой с дополнениями, если она содержит 0 и 1 и для каждого ее элемента а существует дополнительный элемент а', удовлетворяющий равенствам

а + а' = 1, аа' = 0.

В решетке, изображенной на диаграмме 3, каждый элемент аг имеет дополнительный, причем в качестве дополнительного ДЛЯ at служит любой элемент uj, отличный от at. Следовательно, в произвольных и даже модулярных решетках дополнительные элементы определяются РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)

135

неоднозначно. • Дело меняется, если рассматриваются дистрибутивные решетки.

В дистрибутивной решетке с нулем и единицей каждый элемент может иметь не более одного дополнительного, причем, если a, b имеют дополнения а', Ъ', то

(а')' = а, [а + V)' = а'Ь',

(ab)' = а' + Ь'. (4)

В самом деле, если а' и а" ~ дополнения для а, то, умножая равенство а + а' = = І на а" и пользуясь дистрибутивным законом и соотношениями аа" = 0, і а" = а", ролями а', а", будем иметь и

Диаграмма 3.

получим а'а" = а". Меняя а"а' ~ а', откуда а' = а"

единственность установлена. Далее имеем (а + Ь) a'b' = аа'Ъ + а'ЬЪ' = 0, а + Ъ + a'b' = a (b + Ъ') + (a + a') b + a'b' =

= ab + ab' + a'b + a'b' = (a + a') (b + b') = 1.

Следовательно, a'b' = [a + b)'. Так же доказываются и остальные равенства.

Дистрибутивная решетка с дополнениями называется решеткой Буля или булевой решеткой,

В решетке Буля взятие дополнительного элемента естественно рассматривать как особую унарную операцию, связанную со сложением и умножением тождествами (4).

Алгебра (.А, +, •, ') типа <2, 2, 1) называется алгеброй Буля, если ее главные операции связаны на основном множестве тождествами:

Bt: а + а = а, аа = а,

B2: а + b = b + а, ab = ba,

B3: a + (b + є) = {а + Ъ) + с, (ab) с = a (be),

B4: а (Ъ + с) = ab + ас, a + be — (а + Ъ) (а + с),

B5: {а')' = а,

B6: (а + Ь)' = a'b', (ab)' = а' + b', B7: (а + «')& = Ь, аа' + b = Ь. 136

^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ

ІГл. II

Легко видеть, что в этих аксиомах можно оставить либо только первые равенства, либо только вторые, так как первые следуют из вторых, а вторые из первых. Из аксиом Bi—B7 следует закон поглощения

а (а + Ъ) = а, а ab = а.

Таким образом, алгебра Буля относительно операций сложения и умножения является решеткой. Соотношения B7 показывают, что аа' является наименьшим, а а -f- а' наибольшим элементами этой решетки, и следовательно, а' является дополнением элемента а.

Итак, каждая алгебра Буля, рассматриваемая только относительно операций сложения и умножения, есть дистрибутивная решетка с дополнениями. В свою очередь каждую дистрибутивную решетку с дополнениями можно сделать алгеброй Буля, приняв взятие дополнительного элемента за третью главную операцию.

Совокупность всех частей данного множества А будет алгеброй Буля, если в качестве сложения и умножения рассматривать объединение и пересечение, а в качестве дополнений брать дополнительные множества. Для конечных алгебр Буля имеет место и обратное утверждение.

Теорема Стона. Каждая конечная алгебра Буля St изоморфна алгебре всех частей множества минимальных ненулевых элементов SL

Поскольку алгебра §1 конечна, то среди ее ненулевых элементов заведомо найдутся минимальные. Обозначим их совокупность через М. Пустой части M ставим в соответствие нуль алгебры SI, а части М, состоящей из некоторых элементов Tni, . . ., mh, ставим в соответствие сумму этих элементов в Si. Остается показать, что определенное таким образом отображение ф алгебры частей M в алгебру SI есть изоморфизм между ними. Покажем прежде всего, что каждый ненулевой элемент из SI представим в виде суммы элементов из М. Тем самым будет показано, что Ф есть отображение на алгебру Si. Пусть а 6 Si, а Ф 0. Если а ? М, то все доказано, если же а $ M,. то найдется такой элемент Ь, что а > b > 0. Тогда а = a (b + b') = = ab + ab', причем а > ab и а > ab'. Если ab и ab' — минимальные элементы, то опять все доказано, если же РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 133 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed