Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
131
следует а-\-Ъ = аЪ-{-Ъ = Ъ-{-Ъа~Ъ. Поэтому то же отношение ^ делает А и нижней полурешеткой, причем ab = а Д Ъ.
Следовательно, каждую абстрактную решетку можно рассматривать и как решеточно упорядоченное множество.
Изложенные рассуждения показывают, что в абстрактных решетках задание одной операции вполне определяет вторую. Например, зная операцию сложения, вводим отношение и с его помощью произведение ab находим как нижнюю грань пары а, Ь. Однако это не дает еще права считать в качестве основной операции лишь одно сложение, так как умножение не может быть явно выражено через него.
Строение конечных частично упорядоченных множеств задается иногда при помощи диаграмм. С этой целью элементы множества изображаются точками, расположенными на разных горизонталях, причем непосредственно большие элементы соединяются опускающимися линиями с непосредственно меньшими. В результате элемент а оказывается большим b тогда и только тогда, когда на диаграмме от а можно перейти к b по опускающимся вниз линиям. Например, на диаграмме 1, изображающей структуру всех частей множества из трех элементов, элемент р меньше е и несравним с элементом с.
Элементы 0 и 1 некоторой абстрактной решетки її называются ее нулем и единицей, если для любого а ^ її имеем
О + а = а, 1-а = а.
Это означает, что 0 и 1 являются соответственно наименьшим и наибольшим элементами її. Конечная абстрактная решетка її с элементами аь . . ., ап обязательно имеет нуль и единицу, а именно
аф% ... ап = О, A1 + а2 -f . . . + ап = 1.
Бесконечные абстрактные решетки могут не иметь нуля, единицы или того и другого одновременно.
9*
Диаграмма 1. 132
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
В решетках любое конечное множество элементов имеет верхнюю и нижнюю грани. Если не только конечное, но и любое бесконечное подмножество имеет верхнюю и нижнюю грани, то частично упорядоченное множество называется полной решеткой. Например, полной решеткой является совокупность всех частей данного множества А. Верхней гранью любой системы частей А является их объединение, а нижней гранью — их пересечение.
Если частично упорядоченное множество M имеет наибольший и наименьший элементы и если любая система его элементов обладает нижней (верхней) гранью, то любая система обладает и верхней (нижней) гранью, т. е. M является полной решеткой.
В самом деле, совокупность P верхних границ для какой-либо заданной системы N элементов из M не пустая, так как P заведомо содержит наибольший элемент из М. По предположению для P есть нижняя грань, которая и будет искомой верхней гранью для N.
В частности, совокупность всех подсистем (включая пустую) произвольной алгебраической системы SI является полной решеткой относительно включения, так как любая совокупность подсистем имеет нижнюю грань, равную пересечению взятых подсистем.
Алгебраизация понятия полной решетки приводит к необходимости рассматривать операции, выполненные над произвольным множеством аргументов. Именно, множество M называется полной абстрактной решеткой, если каждому отображению р -> хр произвольного подмножества P из M в M поставлены в соответствие однозначно определенные элементы 2 xPi П хр> обладающие
РЄР р?Р
следующими свойствами:
1. 2 хр = Пхр — х> если хр = х Для всех p из p-
2. Если P есть объединение подмножеств Pi, попарно не имеющих общих элементов, то
S 2 ж?= S П II xP - II xP-
І PSPi рЄP І PGPj PBP
3. a + ab = a, a(a-yb)=a.
Здесь в свойстве 2 объединены закон ассоциативности и закон коммутативности. Вводя в полную абстрактную РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)
133
решетку отношение
а < Ъ <=> а-\-Ъ = Ъ,
легко показать, что эта абстрактная решетка будет полной решеткой, в которой
S хР~ V хр' ГІ хр == А хр-
р?Р P=P р?Р р?Р
Обратное очевидно.
Понятие полной абстрактной решетки можно определить, и не употребляя бесконечных сумм и произведений. Именно, абстрактная решетка полна, если она есть полная решетка относительно естественного упорядочения элементов .
В дальнейшем мы не различаем решетки и абстрактные решетки.
5.2. Модулярные и дистрибутивные решетки. Алгебры Буля. Решетка называется модулярной, если ее элементы удовлетворяют модулярному закону
a (ab + с) = ab + ас, (1)
и дистрибутивной, если элементы из ?! удовлетворяют дистрибутивному закону
а (Ь + с) = ab + ас. (2)
Примером дистрибутивной решетки является решетка всех частей какого-либо множества. В этой решетке сумма и произведение совпадают соответственно с объединением и пересечением, а последние операции дистрибутивны.
Всякая дистрибутивная решетка является модулярной, так как из (2) имеем
a (ab + с) = a-ab + ас = ab + a^.
Обратное неверно: класс модулярных решеток шире класса дистрибутивных решеток.
Важность модулярных решеток видна из следующего факта, впервые замеченного еще Дедекиндом: решетка нормальных делителей произвольной группы & является модулярной.
В решетке нормальных делителей нижней гранью нормальных делителей H1, H2 является их пересечение, 134
