Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для числа Кэли и = г + qe сопряженным называется число
и = г — qe.
Пользуясь соотношениями (5), легко доказать следующие формулы:
аи -f- ?i> — аи -f- ?z;, uv = vu, uu=uu = rr-\- qq,
где и, V — числа Кэли, а, ?— вещественные числа. Неотрицательное вещественное число
Uu= rr -j- qq
называется нормой числа Кэли и и обозначается N (и). Так как
N {г+ qe) =N (г) + N (q), то N (и) = 0 тогда и только тогда, когда и = 0. 128
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Непосредственные вычисления показывают, что для любых чисел Кэли и, V имеет место соотношение
и (UV) = (Vu) U = N (и) v.
Поэтому каждое число Кэли и -ф 0 имеет вполне обратное число
По теореме 1 из п. 4.3 получаем, что алгебра Кэли является альтернативным (неассоциативным) телом.
Используя числа Кэли, легко указать закон композиции для вещественных квадратичных форм от восьми переменных. Однако в конце прошлого века А. Гурвиц (A. Hurwitz) показал, что квадратичные формы от большего числа переменных не допускают закона композиции. Справедлива также следующая
Теорема. Любая алгебра конечной размерности над полем вещественных чисел с вполне обратимыми элементами, содержащая единицу, изоморфна или полю действительных чисел, или алгебре комплексных чисел, или алгебре кватернионов, или алгебре Кэли.
Для ассоциативно-коммутативных алгебр эта теорема была известна уже в первой половине 19 в. Случай ассоциативных некоммутативных алгебр был рассмотрен Фро-бениусом. Доказательство теоремы в общем виде вытекает из результатов M у ф а н г [47], Ц о р н а [72, 73] и Линника [30]. Поскольку в дальнейшем изложении эта теорема использоваться не будет, то мы оставим ее без доказательства.
Примеры и дополнения
1. Всякое ассоциативное кольцо ® с делением, отличное от нуля, является телом.
2. Всякое алгебраически замкнутое поле бесконечно.
3. Группа всех автоморфизмов поля комплексных чисел имеет
мощность 22 (С а у н д а р а р а д ж а н [58]).
4. Кольцо Ж альтернативно тогда и только тогда, когда все его подкольца, порожденные двумя элементами, ассоциативны (см. Ширшов [76], стр. 7—8, а также Kyponi [25]). РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)
129
§ 5. Решетки (структуры)
5.1. Решетки. Напомним, что элемент т частично упорядоченного множества M называется верхней границей для подмножества N сі М, если каждый элемент из N сравним с т и не превосходит т. Если среди верхних границ для N есть наименьшая, то она называется верхней гранью элементов N. Аналогично определяются нижние границы и нижняя грань для N.
Частично упорядоченное множество M называется верхней полу решеткой, если каждая пара его элементов имеет верхнюю грань, и нижней полурешеткой, если каждая пара элементов из M имеет нижнюю грань. Множество M называется решеткой или решеточно упорядоченным, если каждая пара элементов его имеет верхнюю и нижнюю грани.
Например, совокупность всех частей данного множества А является решеткой относительно отношения включения: верхней гранью пары частей AuA2 является здесь их объединение, а нижней гранью их пересечение. Решеткой является и всякое линейно упорядоченное множество: верхней гранью пары элементов является больший, а нижней гранью — меньший из этих элементов.
Обозначив верхнюю грань элементов а, Ъ через а \/ b, а нижнюю грань — через а Д Ъ, легко убедиться в справедливости следующих формул:
C1: a\ja~a, af\a — a,
C2: a\Jb ~Ъ\]а, а[\Ъ Да,
C3: a\/(b\/c) = (a\/b)\/c, (аД6)Дс = аД(6Дс),
C4: a/\(a\/b)=a, a\J(a/\b) = a,
называемых соответственно законами идемпотентности, коммутативности, ассоциативности и поглощения. Дистрибутивный закон
аМЬ\/с) = (а/\Ъ)\;(а/\с)
может и не выполняться в решетках.
Законы C1 — C4 дают повод ввести следующие определения.
Аддитивной (мультипликативной) полурешеткой называется коммутативная идемпотентная полугруппа St,
9 А. й. Мальцев 131
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
записанная аддитивно §Г = (A, -f) (соответственно мультипликативно: §[ = (А, • )).
Алгебра {А, +, ' > типа <2, 2) называется абстрактной решеткой, если главные операции связаны в ней тождествами:
R1:' а + а = а, аа = а,
R2: a -f Ъ ~ b -j- а, ab — ba,
R3: (a + b) + с = a + (b + с), (ab) с = а (Ъс),
R4: a (a -f b) = а, а + ab = a (a, b ? А).
Если А — верхняя полурешетка, то, определяя для элементов из А операцию сложения формулой
a + b = a Y Ъ,
мы обратим А в аддитивную полурешетку, в которой соотношения а^Ь, а + Ъ = b будут равносильны.
Обратно, пусть дана произвольная аддитивная полурешетка (.А, +). Полагая a Ь, если a + b = b, будем иметь a ^ а, так как a -f- а = а; если a ^ Ь, b ^ а, то a + b = b, b + а = b, откуда в силу коммутативности сложения получаем а = Ь\ наконец, если a ^ Ь, &<с, то а + 6 = &, b с = с ж при помощи ассоциативного закона получаем а-\-с = а-{- (Ь-{-с) = Ь-{-с — с, т. е. а с. Следовательно, относительно отношения множество А является частично упорядоченным. Легко показать, что верхней гранью для элементов а, Ъ в А является а + Ь.
Аналогичная связь существует между нижними полурешетками и мультипликативными полурешетками, а также между решетками и абстрактными решетками. Действительно, если А — решетка, то, полагая a + b = = а V b, ab = а Д Ь, мы обратим А в абстрактную решетку. Обратно, пусть А — абстрактная решетка. Вводим в А отношение полагая а Ь, если a -f- b = Ь. Из доказанного соответствия между верхними полурешетками и аддитивными полурешетками следует, что отношение ^ делает множество А верхней полурешеткой, в которой a jT Ь = а V b. Но соотношения a-}-b = bnab = a во всякой абстрактной решетке равносильны, так как из а 4- Ъ = b следует ab = а (а 4- b) = а, а из ab = а РЕШЕТКИ (СТРУКТУРЫ)
