Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Может случиться, что элементы некоторого множества сами являются множествами. Например, студенческие группы можно рассматривать как элементы множества всех групп университета, хотя каждая группа сама является множеством входящих в нее студентов.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый предмет, являющийся элементом одного множества, является элементом и другого. Из этого определения следует, ЧТО для полного задания множества достаточно перечислить все его элементы. Поэтому там, где это удобно, для записи множества будут выписываться внутри фигурных скобок в произвольном порядке обозначения элементов множества. Например, выражение {4, 1, 3} обозначает множество, состоящее из чисел 1, 4, 3. Множества {1, З, 1, 5} и {1, 3, 5}10
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
следует рассматривать как равные, так как в первом случае элемент 1 только упомянут дважды при перечислении элементов множества, что не существенно для определения самого множества.
Часто приходится рассматривать множества, состоящие лишь из одного элемента. При этом множество {а}, состоящее из единственного предмета а, и сам этот предмет а считаются различными объектами. В частности, приходится различать элемент а, множество {а}, состоящее из единственного элемента а, множество {{а}}, единственным элементом которого является множество {а}, и т. д.
Наряду с множествами, имеющими элементы, рассматривают также пустое множество, не имеющее ни одного элемента. Все пустые множества по определению равны и обозначаются символом 0. Отметим, что множество { 0 } имеет своим элементом пустое множество 0 и потому не пусто.
Множество А называется подмножеством или частью множества В, символически A ^ В, если каждый элемент А является элементом В. Например, множество четных натуральных чисел есть подмножество множества всех натуральных чисел.
Согласно этому определению произвольное множество А и пустое множество 0 являются подмножествами множества А. Непустая часть множества А, отличная от А, называется правильной частью А. Запись A cz В означает, что А есть подмножество множества В, отличное от В.
Пустое множество имеет лишь одну часть 0; множество {1}, состоящее из одного элемента 1, имеет 2 части: 0 и {1}; мноя{ество {1, 2}, состоящее из двух элементов, имеет 4 части: 0, {1}, {2}, {1, 2}. Легко убедиться, что множество, состоящее из конечного числа п элементов, имеет 2п различных частей.
Очевидно, что для любых множеств A1 В, С из A s В, B^A следует А = В, из A ^ В, В е С следует А С, из А а В, В s С следует A cz С и т. д.
Вместо слов множество, подмножество часто употребляются слова совокупность, подсовокупность, система, подсистема, семейство и т. п. Если А <= В, то говорят, что В есть надмножество (надсистема) множества А.ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ-
12
Пусть P — некоторое свойство объектов, и пусть формула P (х) означает, что объект х обладает свойством Р. Тогда через {х | P (ж)} обозначается множество тех объектов х, которые обладают свойством Р. Например, пусть N обозначает множество всех натуральных чисел О, 1, 2, ... Тогда {х I X >¦ 5, х 6 N} будет множеством натуральных чисел, больших числа 5, {х | 2 < х <С 6, X ? JVj есть множество {3, 4, 5}, {х \ х < 0, х ? N} = 0.
Объединением или суммой множеств А, В, символически A U В, называется множество, получаемое объединением элементов А и В в одно множество. Таким образом, утверждение а ? (^4 (J#) означает, что a ^ А или а ? В. Например,
{1, 2, 4} U {2, 3, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
В частности, для любого множества А имеем А\}А = А, 0U A = A.
Выражения
^1IM2U ... U^n= U A1 i=l
обозначают объединение элементов множеств Ai, . . ., An.
Пересечением или общей частью множеств А, В, символически А П В, называется множество, содержащее те и только те предметы, которые одновременно принадлежат множествам А и В. Если А и В общих элементов не имеют, то их пересечение пусто. Так,
{1, 3}П{2, 4, 5} — 0, {1, 2, 5}П{1, 5, 6}={1, 5}.
В частности, для любого множества А имеем AftA = A, 0 [) A = 0.
Выражения
A1 П A2 П • ¦ • П An = П Ai
г= і
обозначают общую часть системы множеств Au . . ., An, т. е. совокупность тех предметов, которые являются элементами каждого из множеств Ai, . . ., An.
Разностью множеств А, В, символически А \ В, называется совокупность тех элементов множества А,12
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
которые не входят в В. Например,
{О, 1, 2, 3}\{1, 3, 5} = {0, 2}. Отсюда следует, что для любых множеств А, В имеем А\А = 0, А\0 = А, 0\А=0, А\В = А\(А{]В).
Иногда операцию объединения множеств рассматривают как аналог операции сложения чисел, а операцию вычитания множеств как аналог вычитания чисел. Однако эта аналогия весьма не полная. Например, если A (J B = = С, то отсюда еще не следует, что А = С \ В. Действительно, полагая
^ = 1, 4, 5), В = {1, 2, 3, 5}, будем иметь
A\JB = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4, 5} \ В — {0, 4)фА.
Правильное заключение имеет следующий вид: если А[}В = С, A f] В — 0, то А = С \ В.