Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Работу над книгой «Алгебраические системы» А. И. Мальцев начал еще в 1951 г. в Иванове. В 1953 г. машинописный экземпляр первой части книги был передан А. И. Мальцевым в математический кабинет Ивановского педагогического института и с тех пор был доступен для многих советских алгебраистов. Однако дальнейшая работа над книгой была прервана и возобновилась уже в Новосибирске в 1964 г. Так как к этому времени теория алгебраических систем пополнилась большим числом новых работ, существенно изменивших ее лицо, то была начата фактически новая книга. В последние годы А. И. Мальцев предполагал написать ее в двух томах под названием «Общая алгебра». Первый том, посвященный основным 6
ОТ РЕДАКТОРОВ
структурам, исчислениям предикатов и многообразиям, был включен в план издательства физико-математической литературы на 1967 г., но не был своевременно закончен и публикация была отложена. Однако А. И. Мальцев продолжал работу над книгой, и только скоропостижная смерть помешала ему довести эту работу до конца.
Не располагая какими-либо сведениями о содержании второго тома, мы решили сохранить за книгой ее первоначальное название «Алгебраические системы», тем более, что так озаглавлена оставшаяся рукопись книги.
Машинописный экземпляр книги был передан нам Н. П. Мальцевой вместе с несколькими вариантами предполагаемого оглавления. Естественно, что мы выбрали из этих вариантов тот, который ближе отвечал фактическому содержанию рукописи. В соответствии с планами автора мы включили в книгу главу «Классические алгебры» из ивановского варианта рукописи в надлежащей редакции и с некоторыми добавлениями, а также необходимые сведения о кардинальных и ординальных числах по книге Хаусдорфа [68]. В книгу добавлены нами некоторые другие недостающие связующие звенья. В оглавлении все они отмечены звездочкой. Первая глава книги была подвергнута некоторой редакционной переработке, так как в ней рассматривались алгебраические системы лишь конечной сигнатуры, тогда как в последующих главах сигнатура предполагается произвольной.
Для чтения книги требуется знание обычных университетских курсов высшей алгебры и математической логики и лишь в отдельных местах читатель отсылается к специальной литературе.
Д. Смирнов, М. Тайцлин
Апрель 1968 г, ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Еще в 20-х годах нашего века стало обычным мнение, Что алгебра — это наука о свойствах множеств, на которых определена та или иная система операций. Однако Вплоть до конца сороковых годов подавляющая часть алгебраистов занималась изучением свойств лишь весьма ограниченного числа типов алгебраических структур. В основном это были группы, кольца и решетки (структуры). Первые общие работы по теории произвольных Множеств и с произвольными операциями принадлежат Г. Биркгофу (1935 г.). В те же годы появилась важная работа А. Тарского, в которой были заложены основные Концепции теории множеств, снабженных некоторой системой отношений,— такие множества называются ныне моделями. В отличие от теории алгебр, теория моделей исполь-аовала богатый аппарат математической логики. Возмож-йость плодотворного применения математической логики йе только к изучению универсальных алгебр, но и к более классическим областям алгебры, например к теории групп, была обнаружена автором в 1936 г.
В течение следующих 25 лет постепенно выяснилось, Что обе теории — теория универсальных алгебр и теория моделей,— несмотря на некоторое различие в проблематике, столь тесно связаны, что имеет смысл говорить об одной дисциплине — теории алгебраических систем, йредметом которой являются множества с определенными на них последовательностями операций и отношений (алгебраические системы). Формальным аппаратом этой теории служит язык так называемого прикладного исчисления предикатов, а сама теория должна рассматриваться &ак пограничная между математической логикой и алгеброй. 8
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Изложенную точку зрения автор пытался обосновать в своих обзорных докладах на всесоюзных математических съездах 1956 и 1961 гг.
Начиная с 1951 г. автор неоднократно читал специальные курсы лекций, посвященных изложению основных понятий и некоторых разделов теории алгебраических систем. В 1953/54 г. были составлены записки одного из таких курсов. Несколько десятков машинописных копий этих записок ходили по рукам в разных городах. Однако обработать их для печати своевременно не удалось. В 1964 г. автору пришлось снова читать курс теории алгебраических систем, и группа студентов и сотрудников НГУ предложила издать ротапринтным способом старые записки. Однако прошедшие 10 лет коренным образом изменили состояние теории и переработка упомянутых записок привела к созданию книги, которая и предлагается вниманию читателей.
Содержание этой книги в общих чертах соответствует содержанию двух обзорных докладов автора, о которых говорилось выше. ГЛАВА I
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 1. Отношения и отображения
1.1. Множества. Совокупность предметов или понятий, объединенных каким-нибудь общим свойством, называется множеством. Например, можно говорить о множестве символов в строке, множестве всех натуральных чисел, множестве лиц, являющихся в данный момент студентами университета, и т. п. Предметы, входящие в состав множества, называются его элементами. В дальнейшем множества будут, как правило, обозначаться прописными буквами, а элементы малыми буквами латинского или греческого алфавитов. Утверждение, что предмет а является элементом множества А, сокращенно записывается в виде а ? А. Запись а $ А или а ? А означает, что предмет а не есть элемент множества А.
