Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Показать, что
), P^1P = P,
А/а* = {{ 1, 2, 3, 4}, {5, 6}}, = 1, 3, 4}, {2}, {5, 6}}, Л/(а Ufte = W- 2, 3, 4}, {5, 6}},
где ае—эквивалентное замыкание а.
2. Пусть дифункциональноэ отношение а задано на паре А, А. Если а — псевдоэквивалентность, то A Ia есть разбиение А и индуцированное отображение есть тождественное отображение А/а на себя. Таким образом, отношение а — тогда и только тогда эквивалентность, когда оно рефлексивно и симметрично.
3. Отношение а является эквивалентностью тогда и только тогда, когда і с а и аа-1 с а.
4. Линейно упорядоченное множество называется неограниченным, если оно бесконечно и не имеет ни наибольшего, ни наименьшего элемента, и плотным, если в нем для любых элементов а < Ъ существует элемент с, расположенный между ними: а << с < Ь, Все счетные неограниченные плотные множества изоморфны между собой (Хаусдорф [68], § 11).
§ 2. Модели и алгебры
2.1. /г-арные отношения и функций. Декартовым произведением A1 X A2 X ... X X системы множеств Ai, A2, . . ., An называется совокупность последовательностей вида (elt ая, . . ., ап), где O1 QA1, . . ., ап Q An. Всякое подмножество R множества .A1X ... X An называется отношением, определенным на системе Ai, ... . . ., An. Декартово произведение A1 х A2X . . . X-An, где A1 = A2 = . . . = An ~ А, называется декартовой п-й степенью множества А и обозначается через An. Отношение R, определенное на системе А, ..., А, называется п-арным отношением на множестве А.
Частичное отображение а из совокупности A1X .. . ... X-An в совокупность В (см. п. 1.6) называется частичной функцией из -A1X ... X-An в В. Отображение совокупности A1X ... XAn в совокупность В называется функцией из A1X ... XA11 в В. Элемент Ъ QB, отвечающий элементу (аи . . ., ап), Q A1, . . ., ап QAn, при отображении а, называется, согласно п. 1.3, значением функции а в точке (аи . . ., ап) и обозначается (al5 . . . . . ., ап) а. Вместо (at, . . ., ап) а часто употребляются также обозначения a (alt . . ., ап), A1 . . . апа и ахаа%а . . . МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
43
. . . аап. Для п = 1 и п = 2 почти всегда применяются обозначения аа и A1Oca2.
Различие между функцией и частичной функцией весьма существенно. Если а — функция из A1 X A2 в В, то для каждых O1 Q A1, аг QA2 существует однозначно определенное значение a (аь а2) = A1Oca2 этой функции в точке (а4, а2). Если же а — частичная функция из А і X А 2 в В, то для некоторых A1 Q A1, аг Q A2 значение A1Otaj может и не существовать. В последнем случае говорят, что значение A1Ota2 не определено или что выражение A^A2 имеет неопределенное значение.
Частичная функция из An в В называется частичной п-арной функцией на А со значениями в В. Функция из An в В называется п-арной функцией на А со значениями в В. я-арная функция на А со значениями в А называется п-арной операцией на А. Аналогично определяется п-арная частичная операция на множестве А. Совокупность тех точек, в которых заданная частичная функция a имеет определенные значения, называется областью определенности а.
Например, обычные сумма а + Ъ и произведение ab натуральных чисел a, Ъ суть бинарные операции на натуральном ряде N. Действие вычитания — в области натуральных чисел не всегда возможно. Поэтому операцию вычитания на множестве N следует рассматривать как частичную бинарную операцию. Область определенности операции вычитания на N состоит из пар вида (a, Ъ), где а > Ь.
На совокупности R всех рациональных чисел операция вычитания—всюду определена. Операция деления : является частичной бинарной операцией как на множестве N, так и на множестве R. Однако область определенности операции деления на множестве R состоит из всех пар (a, b), Ъ Ф 0, тогда как область определенности операции деления на множестве N состоит из пар (a, b), b Ф О, в которых число а кратно числу Ь.
В этих примерах одним и тем же символом — были обозначены разные операции: одна, определенная на N, была частичной, а другая, на R, была всюду определенной. Согласно приведенным выше определениям частичные функции а из P в А и ? из Q в В называются равными 44
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
тогда и только тогда, когда P = Q, А — В и для каждого X ? P из определенности одного из выражений а (ж), ? (х) вытекает определенность другого и их равенство. Например, унарные частичные функции / (х), g (х) из JV в JV, определенные равенствами
равны нулю в областях их определенности. Однако область определенности функции / состоит из натуральных х 1, а область определенности g состоит из натуральных х 2. Так как области определенности не совпадают, то функции fug различные.
В логике рассматриваются особые множества, элементы которых называются модальностями или степенями истинности. В классической логике рассматривается множество, состоящее из двух элементов. Один из них называется истиной, а другой — ложью. В дальнейшем первый из них будет обозначаться символом И, а второй — символом Л.
Пусть А — произвольное множество, га-арная функция /, определенная на А со значениями в множестве {И, Л}, называется п-арным предикатом на А. Совокупность тех последовательностей (аи . . ., ап) из An, для которых
