Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для каждого элемента Ь множества А порядковое число ? = о (Pb) принадлежит множеству W (а) и соответствие b —>- ? будет, очевидно-, изоморфным отображением А на W (а). Поэтому множество W (а) вполне упорядочено и а = о (W (а)). Теорема 3 доказана.
Таким образом, любое вполне упорядоченное множество А типа а изоморфно множеству порядковых чисел W (а), и поэтому элементы из А можно перенумеровать числами из W (а) так, что А = | | < а} и индекс ? есть тип отрезка Pa множества А, отвечающего элементу щ.
Теорема 4. Два порядковых числа а, ? всегда сравнимы.
; Действительно, пусть А = W (а), В = W (?), D =
= А О В, б — о (D). Так как D — вполне упорядоченное множество, то б — порядковое число. Покажем, что б а.
Если D = А, то б = а. Пусть D а А. Легко установить, что D является отрезком множества А, и поэтому б < а. Действительно, если | Q D, rj ? (А \ D), то либо ' I < г), либо г| < Случай г) < | невозможен, так как
тогда имели 6bir|<C|<aHT]<c?<C?, откуда число т] принадлежало бы D. Следовательно, | < rj. Взяв г| наименьшим в А \ D, получим D ~ W (ті), т. е. D есть * отрезок. Поскольку т] = о" (W (г])) = о (D) = б, то t> =
: = w (б).
Итак, ба и б ?. Комбинация б < а, 6<? ^ невозможна, так как б $ D = W (б).! Поэтому или 6-а, 40
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
б = ?, и тогда ос = ?, или 6 = а, б <С ?, и в этом случае а <С ?, или же 6 < а, б = ?, и тогда ? <С а. Теорема 4 доказана.
Из аксиомы полной упорядочиваемости и теоремы 4 получаем, что любые два кардинальных числа а, Ъ также сравнимы. Действительно, по упомянутой аксиоме а, 6 являются мощностями некоторых вполне упорядоченных множеств А, В типов ос, ? соответственно. Если а = ?, то а = Ъ. Если же ос < ?, то А изоморфно отрезку В, и поэтому а ^ Ъ. Аналогично, a ^ Ь при ос >¦ ?. Теорема 1 полностью доказана.
Кардинальное число а называется конечным, если а <С X0, и бесконечным (или алефом) при a х0. Порядковое число называется конечным или бесконечным, в зависимости от того, будет ли его мощность конечна или бесконечна.
Теорема 5. Любое непустое множество W порядковых чисел имеет наименьшее число.
Другими словами, всякое множество порядковых чисел вполне упорядочено. Действительно, пусть а ? W. Если а не является наименьшим в W, то берем пересечение W[] W (ос). Будучи подмножеством множества W (а), оно вполне упорядочено и поэтому обладает наименьшим числом ссо. Число ос0 будет наименьшим в W. В самом деле, если ? ? W, то а0 ? при a ^ ?, а при ? < а ? 6 Wf\ W (а) и также а0 < ?.
Следствие. Всякое множество А кардинальных чисел также является вполне упорядоченным.
Действительно, каждому кардинальному числу а из данного множества А поставим в соответствие какое-нибудь порядковое число ос мощности а. Получим изоморфное отображение множества А на множество порядковых чисел.
В заключение этого пункта докажем теорему Кантора.
Теорема 6. Множество S (А) всех подмножеств любого множества А имеет мощность, строго большую мощности множества А.
Действительно, ставя в соответствие каждому элементу а, 6 А одноэлементное подмножество {а} множества А, получим взаимно однозначное отображение множества А в § (А). Поэтому I А |< I S (А) |. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ-
41
Допустим, что существует взаимно однозначное отображение <р множества А на множество S (А). Пусть
М={а?А\а$(р (а)}.
M есть подмножество множества А, и поэтому M ? S (А). Следовательно, должен существовать элемент т ? А такой, что ф (т) = M. Получаем противоречие: если т 6 М, то т (? ф (т) = M, а если т (J М, то т ? ф (т) = М.
Следствие. Для любого кардинала а (ординала а) существует наименьший кардинал b (ординал ?) с тем свойством, что а < 6 (соответственно а <С ?).
Действительно, по теореме 6 существует кардинальное число Б, а < Б. В силу следствия из теоремы 5 среди кардинальных чисел, строго больших а и меньших или равных Б, существует наименьшее. Утверждение для порядковых чисел доказывается аналогично.
Операции над кардинальными и порядковыми числами будут рассмотрены детально в п. 2.6. Определим лишь понятие суммы двух порядковых чисел.
Пусть а = о (А), ? = о (В) —- произвольные порядковые типы, причем А О В = 0. Суммой а + ? данных типов называется порядковый тип объединения A (J В множеств А, В, линейно упорядоченного следующим образом: если а ? A, b ? В, то а <С Ь; линейный порядок на каждом из множеств А, В сохраняется.
Например, 1 + со есть порядковый тип объединения {1}U{2, 3, . . .,}, линейно упорядоченного по возрастанию чисел 1 <С 2 <С 3 <С . . . Поэтому 1 + to = со. Сумма о) + 1 есть порядковый тип множества {а2, а3, ... . . ., (J1), в котором аг <С а3 <С . . . < at. Так как это множество обладает наибольшим элементом, то to + 1 Ф со. Вообще типы со, о + 1, to + 2, . . ., очевидно, различны.
Из определения следует, что сумма а + ? двух порядковых чисел fit, ? является порядковым числом.
Примеры и дополнения
1. Пусть отображения а, ? множества А=>\ 1, 2, 3, 4, 5, 6} в себя заданы таблицами
/1 2345 6\ „ /1 2 3 4 5 6\ a-V2 4 1 3 6 5/ ' 2 4 3 6 б)' 42
