Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. На любом множестве кардинальных чисел отношение ^ является линейным порядком.
Из определения отношения ^ следует, что оно рефлексивно и транзитивно. Антисимметричность этого отношения вытекает из следующей теоремы Кантора — Берн-штейна.
Теорема 2*). Если а — взаимно однозначное отображение множества А на его подмножество а {А), то для всякого множества С s {А \ а (Л)) существует взаимно однозначное отображение а* множества А на множество а* {А) = С U а (Л).
Действительно, положим а0 (С) = С, an+1 (С) = =¦ а (а" (С)) и рассмотрим множество
тождественно на S и совпадает с а на множестве А \ S.
*) Формулировка теоремы Кантора-Бернштейна в этом виде и доказательство принадлежат Реихбаху (см. R е і с h b а с h M., Colloq. math. 3, № 2 (1955), 163).
OO
U «П(С).
Отображение ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ-
37
Так как S = CUa (S), то
S(]a(A\S) = (С П a (А\ S)) U (a (S) П a (A\S)) = 0
и поэтому а* есть вваимно однозначное отображение множества А на множество
а*(А) = S U a (A\S) = CU a(S) U a(A\S) = CU a(A).
Предположим теперь, что а<Б и Ь<а. Это означает, что существуют взаимно однозначные отображения
a: A-^a(A), a (A)^B, $:В->$(В), ?(?)<=A.
Произведение 7 = a? (см. п. 1.3) будет взаимно однозначным отображением А на у (А) = ? (a (А)). По теореме 2 существует взаимно однозначное отображение 7* множества А на множество CUy(A) для любого Cs S (А \ у (А)). Выбирая С = ? (В) \ у (А), получим у* (А) = ?(-o). Следовательно, y*?_1 будет взаимно однозначным отображением множества А на множество В, и поэтому a = 6.
Итак, отношение для кардинальных чисел рефлексивно, симметрично и транзитивно. В дальнейшем изложении мы покажем, что любые два кардинальных числа а, Ь сравнимы, и поэтому на любом множестве кардинальных чисел отношение ^ является линейным порядком.
Линейно упорядоченное множество А называется изоморфным линейно упорядоченному множеству В, если существует взаимно однозначное отображение ф множества А на множество В, сохраняющее линейный порядок, т. е. a ^ Ъ влечет «ф ^ (a, b ? А). Отображение ф с этими свойствами будет называться изоморфным отображением А на В.
Каждому линейно упорядоченному множеству А поставим в соответствие объект о (А), называемый порядковым типом, так, что о (А) = о (В) тогда и только тогда, когда линейно упорядоченные множества А и В изоморфны.
Поскольку равенство порядковых типов о (А) = о (В) влечет равенство мощностей | А | = | В | , то каждому порядковому типу отвечает некоторая мощность, которая называется мощностью этого типа.
Каждое множество {at, ..., ап}, состоящее из п элементов (и = 1, 2, . . .), допускает п\ перестановок и поэтому 38
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
может быть линейно упорядочено га! способами. Однако все получающиеся при этом линейно упорядоченные множества имеют один и тот же порядковый тип, который обозначается поэтому через п. Пустому множеству приписывается порядковый тип 0. Множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, . . .}, линейно упорядоченному по возрастанию 1 <С 2 < 3 < . . ., приписывается порядковый тип о», а множеству (N, -^-1) с двойственным линейным порядком ... <С 3 <С 2 <; 1 — тип со*.
Порядковый тип вполне упорядоченного множества А называется порядковым или трансфинитным числом, или просто ординалом.
Отсюда следует, что типы п, о» (п — 0, 1, 2, . . .) являются порядковыми числами, а порядковый тип со* не является порядковым числом.
Если {А, — произвольное вполне упорядоченное множество и а — некоторый его элемент, то вполне упорядоченное подмножество
Pa = {{х I X Q А, X < а}, О
элементов из А, строго меньших а, называется отрезком множества А, отвечающим элементу а.
Лемма. Если ф есть изоморфное отображение вполне упорядоченного множества А на его подмножество В, то ф (a) а для каждого элемента a Q А.
В самом деле, допустим, что ф (а) <С. а для некоторого элемента а ? А. Можно предположить, что а — наименьший элемент из А с этим свойством. Полагая Ъ — ф (а), будем иметь ф (Ъ) < ф (а), так как Ъ < а. Таким образом, ф (b) <С Ъ, что противоречит выбору элемента а.
Следствие. Вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему отрезку.
Пусть даны порядковые числа а = о (4), ? = о (В). Положим а <С ?, если множество А изоморфно некоторому отрезку множества В. Взяв объединение <С U ~ (см. п. 1.2) отношений "<С и =, получим новое отношение, которое мы обозначим .
Пусть W (а) — множество всех порядковых чисел, строго меньших порядкового числа а. Например, W (0) = = 0, W (1) = {0}, W (п) = {0, 1, . . п - 1}, W (со) = = {0, 1, 2, . . .}. § 1] ОТНОШЕНИЯ II ОТОБРАЖЕНИЯ 39
Теорема 3. Множество (W (а), ) является вполне упорядоченным и имеет порядковый тип а.
Действительно, определенное выше отношение рефлексивно и транзитивно. Оно также симметрично, так как если ? у, у ?, у Ф ?, то в силу транзитивности должно быть ? <С ?, что противоречит следствию из леммы. Покажем, что любые два порядковых числа ? ф у из W (а) сравнимы.
Пусть а = о (Л), ? — о (В), Y = O (С). Так как ? <С а, Y < а, то каждое из вполне упорядоченных множеств В, С изоморфно отрезку множества А. Обозначим эти отрезки Pb, Pc соответственно. Элементы Ь, с из А, отвечающие этим отрезкам, сравнимы. Если, например, Ъ < с, то ? <С Y- Таким образом, ? и у также сравнимы.
